Urne Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung

Question

Aufgabe:

In einer Urne sind 2 rote und 8 grüne Kugeln. Nacheinander werden drei Kugeln
mit Zurücklegen,
ohne Zurücklegen
gezogen. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der roten Kugeln an.
A) Stellen Sie das Zufallsexperiment für beide Fälle in einem Baumdiagramm dar.
B) Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X.

Bei B komme ich wieder nicht auf die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 bei der Verteilung fürs Zurücklegen. Für ohne Zurücklegen würde ich dann ja auch nicht auf 1 kommen. Was muss ich tun?

Text erkannt:

b)
(1)
\( \begin{array}{c|c|c|c} x_{i} & 0 & 1 & 2 \\ \hline p\left(x=x_{i}\right) & \frac{64}{125} & \frac{48}{125} & \frac{12}{125} \end{array} \)

Text erkannt:

b)
(1)
\( \begin{array}{c|c|c|c} x_{i} & 0 & 1 & 2 \\ \hline P\left(X=x_{i}\right) & \frac{64}{125} & \frac{48}{125} & \frac{12}{125} \end{array} \)

Answer 1

               ohne Zurücklegen               mit Zurücklegen

RRR        2/10 * 1/9 * 0/8 = 0/45

RRG        2/10 * 1/9 * 8/8 = 1/45

RGR        2/10 * 8/9 * 1/8 = 1/45

RGG        2/10 * 8/9 * 7/8 = 7/45

GRR        8/10 * 2/9 * 1/8 = 1/45

GRG        8/10 * 2/9 * 7/8 = 7/45

GGR        8/10 * 7/9 * 2/8 = 7/45

GGG        8/10 * 7/9 * 6/8 = 21/45

x	0	1	2	3
P(X = x) ohne Zurücklegen	21/45	21/45	3/45	0/45
P(X = x) mit Zurüklegen

Answer 2

Wenn man dreimal zieht, kann man auch 3 rote Kugeln ziehen, zumindest mit Zurücklegen. Das fehlt bei dir. Gehe dann die Pfade nochmal durch.

Das Prinzip hast du offensichtlich verstanden. Daher solltest du es auch hinbekommen, selbstständig auf Fehlersuche zu gehen.

Answer 3

b)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei b) berechnet man am geschicktesten nach dem Baumdiagramm.

Ich finde es nötig auch die Pfadwahrscheinlichkeiten ins Baumdiagramm mit aufzunehmen. Leider sehen das nicht alle Lehrer so. Ist aber recht nützlich.

P(X = 0) = P(GGG) = 336/720 = 7/15
P(X = 1) = P(RGG, GRG, GGR) = 3·112/720 = 7/15
P(X = 2) = P(RRG, RGR, GRR) = 3·16/720 = 1/15