Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Bruchgleichung.

Question

Aufgabe:

Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Bruchgleichung.

\(\displaystyle \frac{x}{2 x-3}-\frac{1}{2 x}=\frac{3}{4 x-6} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie man sowas löst

Comments

ist das so richtig

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\left.\frac{x}{2 x-3}-\frac{1}{2 x}=\frac{3}{4 x-6} \right\rvert\, 1(4 x-6) \\ \left(\frac{x}{2 x-3}-\frac{1}{2 x}\right)(4 x-6)=3\end{array} \)

Answer 1

Definitionsmenge:

Wenn man überlegt, bei welchen Werten für x eine Division durch Null passieren würde, dann kommt man auf die Menge

\(\displaystyle D= \R \setminus \left\{\frac{3}{2}, \; 0 \right\}\)

Lösungsmenge:

Wenn man die Gleichung nach x umstellt, dann kommt man auf x = 1 bzw. auf die Menge

\(L = \{ 1 \}\)

Answer 2

Alle Brüche auf den Hauptnenner 2x·(2x-3) erweitern und mit den Hauptnenner ≠0 multiplizieren.

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \frac{x}{2 x-3}-\frac{1}{2 x} \left.=\frac{3}{4 x-6} \right\rvert\, 1(4 x-6) \\ \left(\frac{x}{2 x-3}-\frac{1}{2 x}\right)(4 x-6)=3 \\ \frac{x(4 x-6)}{2 x-3}-\frac{4 x-6}{2 x}=3 \\ \frac{4 x^{2}-6 x}{2 x-3}-\frac{4 x-6}{2 x} \\ \frac{2 x(2 x-3)}{2 x-3}-\frac{4 x-6}{2 x} \\ 2 x-\frac{4 x-6}{2 x}=3 \\ 4 x^{2}-4 x-6=6 x \mid-6 x \\ 4 x^{2}-10 x-6=0\end{array} \)

Answer 3

Aloha :)

Aus der Definitionsmenge musst du alle Werte streichen, bei denen du durch Null dividieren würdest. Beim ersten und dritten Bruch wird der Nenner für \(x=\frac32\) zu Null. Beim zweiten Bruch wird der Nenner für \(x=0\) zu Null. Du darfst also für \(x\) alle reellen Zahlen außer diesen beiden einsetzen. Daher lautet die Definitionsmenge:$$D=\mathbb R\setminus\left\{0;\frac32\right\}$$

Die Lösungsmenge enthält alle Lösungen der Bruchgleichung. Also rechnen wir diese aus. Der Nenner des dritten Bruches ist doppelt so groß wie der Nenner des ersten Bruches. Daher bringen wir Bruch 1 und Bruch 3 auf die linke Seite, um sie dann addieren zu können:$$\frac{x}{2x-3}-\frac{1}{2x}=\frac{3}{4x-6}\quad\bigg|+\frac{1}{2x}$$$$\frac{x}{2x-3}=\frac{3}{4x-6}+\frac{1}{2x}\quad\bigg|-\frac{3}{4x-6}$$$$\frac{x}{2x-3}-\frac{3}{4x-6}=\frac{1}{2x}\quad\bigg|\text{ersten Bruch mit \(2\) erweitern}$$$$\frac{2x}{4x-6}-\frac{3}{4x-6}=\frac{1}{2x}\quad\bigg|\text{die beiden Brüche links addieren}$$$$\frac{2x-3}{4x-6}=\frac{1}{2x}\quad\bigg|\text{den Bruch links kürzen}$$$$\frac{1\cdot\cancel{(2x-3)}}{2\cdot\cancel{(2x-3)}}=\frac{1}{2x}\quad\bigg|\text{Kehrwerte auf beiden Seiten}$$$$2=2x\quad\bigg|\div2$$$$1=x$$

Da \(x=1\) zur Definitionsmenge \(D\) gehört, haben wir genau eine Lösung gefunden.

Die Lösungesmenge ist daher:$$L=\{1\}$$

Comments

@ Keksdose:

Da hat mal wieder ein ganz eifriger lieber eine komplette Lösung geschrieben, als dich auf deinen Umformungsfehler hinzuweisen:

(Siehe meine rote Markierung).

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Um solche Fehler zu vermeiden, sollte man sich um den Zähler eine Klammer denken. Wenn man dann mit dem Nenner multipliziert, liegt eine "Minusklammer" vor.