Fieberkurve eines Patienten

Question

Aufgabe:

Die Fieberkurve eines Patienten kann näherungsweise durch den Graphen der Funktion f mit f(t)=36,7+2t•e^-0,2•t beschrieben werden. Dabei gibt t die Anzahl der Stunden seit Beginn der Erkrankung und f(t) die Körpertemperatur in Grad Celsius an.

1) Verschaffen Sie sich einen Überblick über den Verlauf des Fiebers innerhalb der ersten 24 Stunden (dies habe ich schon gemacht)

2) Wann ist die Körpertemperatur am höchsten? Wie hoch ist diese Temperatur?

3) Zu welchem Zeitpunkt geht das Fieber am schnellsten zurück? Wann sinkt das Fieber nach dem Höchststand erstmals unter 38 Grad Celsius?

4) Welche Körpertemperatur hat der Patient nach diesem Modell, wenn das Fieber vollständig abgeklungen ist?

Problem/Ansatz:

Die erste Aufgabe habe ich schon gemacht, jedoch komme ich bei den weiteren Aufgaben einfach nicht voran.

Comments

f(t)=36,7+2t•e^-0,2•t

ist falsch.

Entweder muss man schreiben

f(t)=36,7+2t•e^(-0,2•t)

oder

f(t)=36,7+2t•e^-0,2•t

Wie kann man (2) und (4) nicht sehen, wenn man wie Du (1) gemacht hat?

Answer 1

2) Finde das Maximum von f(t)

3) Finde das Minimum von f '(t) und löse die Gleichung f(t) = 38

4) Finde \( \lim\limits_{t\to\infty} f(t) \)

Answer 2

2)

f(t) = 36.7 + 2·t·e^(- 0.2·t)

Schaffst du es, die Ableitung zu bilden?

f'(t) = e^(- 0.2·t)·(2 - 0.4·t) = 0 --> t = 5 Stunden

Nach 5 Stunden ist die Temperatur am höchsten. Erkennt man am Graphen bereits ungefähr.

f(5) ≈ 40.38 °C

Die höchste Temperatur beträgt etwa 40.38 °C

3)

f''(t) = e^(- 0.2·t)·(0.08·t - 0.8) = 0 → t = 10 Stunden

Nach 10 Stunden geht das Fieber am schnellsten zurück.

f(t) = 36.7 + 2·t·e^(- 0.2·t) = 38 --> t = 16.02 Stunden

Nach etwa 16.02 Stunden fällt die Temperatur erstmals wieder unter 38 °C

4)

lim (t → ∞) 36.7 + 2·t·e^(- 0.2·t) = 36.7 °C

Skizze:

~plot~ 36.7+2*x*e^(-0.2*x);36.7;38;{5|40.38};{10|39.41};{16.02|38};[[-1|40|36|41]] ~plot~

Comments

Ich verstehe nur nicht ganz, wie du zu dieser Ableitung gekommen bist. Ich dachte, dass man die Ableitung hier nach der Produktregel aufstellt. Somit bekäme ich die Ableitung. f(t)‘=e^-0,2•t(-5,34-0,40t)

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Beachte: Die Funktion ist nicht

$$f(t)=[36,7+2t]\cdot e^{-0,2t} $$

sondern

$$f(t)=36,7+[2t\cdot e^{-0,2t}] $$

Im letzteren Fall kann man auf die Klammern [ ] verzichten, weil allgemein gilt: Punktrechnung vor Strichrechnung.

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Produktregel ist auch richtig, beachte aber, dass die 36,7 kein Bestandteil des Produkts ist. Hier greift dann die Summenregel: Summanden werden separat abgeleitet. Somit fällt die 36,7 komplett raus.