Dimension von Eigenwert bestimmen

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 13 (6 Punkte) Gegeben sei die Matrix \( A \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \) mit \( A=\left(\begin{array}{llll}2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2\end{array}\right) \).
(a) Welchen Zeilenrang hat \( A-2 E_{4} \) ? \( \quad 2 \).
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von \( A \), deren algebraische und geometrische Vielfachheit und geben Sie die zugehörigen Eigenräume an.
\( \left.\begin{array}{c|c|c|c}\lambda & e_{\lambda} & d_{\lambda} & V(\lambda) \\ \hline \lambda_{1}=5 & e_{1}=1 & d_{1}=1 & V(5)=\mathrm{L}\left(\begin{array}{llll}9 & 9 & 15 & 8\end{array}\right)^{\top}\end{array}\right) \).

Bei folgender Aufgabe hätte ich für den EW die Dimension 2 gewählt. Woher weiß ich, ob sich die Dimension jeweils unterscheidet. Ich hätte diese mit den Spalten-Rang berechnet und dachte, das gilt für alle EW.

LG

Answer 1

Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes ist die Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Polynom. Die geometrische Vielfachheit die Dimension des Eigenraums, die maximal der der algebraischen Vielfachheit entspricht.

Die Dimension des Eigenraums bestimmst du durch die Dimension des Kerns von \(A-\lambda E_4\). Da in diesem Fall \(A-5E_4\) aber Zeilenrang 3 hat, besitzt der Kern die Dimension 1 und das ist damit dann auch die Dimension des Eigenraums.

Für den Eigenwert \(\lambda=2\) ist der Zeilenrang nach Aufgabe a) bereits 2, woraus sich eben auch die Dimension des Eigenraums zu diesem Eigenwert mit 2 ergibt.

Es bleibt daher die Frage, warum du als Dimension 2 gewählt hättest.

Comments

Da in diesem Fall \(A-5E_4\) aber vollen Zeilenrang hat, besitzt die der Kern die Dimension 1...

Kann das tatsächlich sein?

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Nein, hat natürlich den Zeilenrang 3, weil eine Nullzeile. Und deswegen hat der Kern die Dimension 1. Danke für den Hinweis.

Answer 2

Die Vielfachheit des EW=5 ist 1, dh. die algebraische Vielfachheit ist 1.

Algebraisch bedeutet, wie oft kommt die Lösung im charakteristischen Polynom vor.

Die geometrische Vielfachheit ist mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit, also auch 1.

Geometrisch bedeutet die Dimension des Eigenraums.