Aloha :)
Bestimmung der Eigenwerte
Die Eigenwerte der Matrix \(A\) sind die Lösungen der Gleichung$$0\stackrel!=\operatorname{det}(A-\lambda\cdot\mathbb 1)=\left|\begin{array}{c}\red{2-\lambda}& 3 & 0 & 0\\0 & 5-\lambda & 0 & 0\\0 & 5 & 2-\lambda & 0\\0 & 1 & 1 & \green{2-\lambda}\end{array}\right|$$Wir entwickeln die Determinante nach dem roten Element \(a_{11}\) und danach nach dem grünen Element \(a_{44}\) schreiben das aber in einem Schritt auf:$$0=(\red{2-\lambda})(\green{2-\lambda})\left|\begin{array}{c}5-\lambda & 0\\5 & 2-\lambda\end{array}\right|=(\red{2-\lambda})(\green{2-\lambda})\cdot\left((5-\lambda)(2-\lambda)-0\right)$$$$0=(2-\lambda)^3\cdot(5-\lambda)$$
Die Matrix \(A\) hat also den algebraisch 3-fachen Eigenwert \(\lambda_1=2\) und den algebarisch einfachen Eigenwert \(\lambda_2=5\).
Bestimmung der Eigenräume
Die Eigenräume erhalten wir als Lösungen der Eigenwert-Gleichung zu den jeweiligen Eigenwerten:$$A\cdot\vec x=\lambda\cdot\vec x\implies (A-\lambda\cdot\mathbb 1)\cdot\vec x=\vec 0$$Wir lösen dieses Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren.
zu a) Für den Eigenwert \(\red{\lambda_1=2}\) finden wir:$$\begin{array}{rrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & =\\\hline2-\red2 & 3 & 0 & 0 & 0\\0 & 5-\red2 & 0 & 0 & 0\\0 & 5 & 2-\red2 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 2-\red2 & 0\\\hline 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & \div 3\\0 & 3 & 0 & 0 & 0 & \\0 & 5 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & 0\\\hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \\0 & 3 & 0 & 0 & 0 & -3\cdot\text{Zeile 1}\\0 & 5 & 0 & 0 & 0 & -5\cdot\text{Zeile 1}\\0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -\text{Zeile 1}\\\hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \Rightarrow x_2=0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 &\Rightarrow x_3=0\end{array}$$Wir erhalten die beiden Forderungen \(\pink{x_2=0}\) und \(\pink{x_3=0}\) und können damit alle Lösungen der Eigenwertgleichung angeben:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\\pink{x_2}\\\pink{x_3}\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\\pink{0}\\\pink{0}\\x_4\end{pmatrix}=x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$
Die Lösungen haben zwei Freiheitsgrade (=frei wählbare Variablen), sodass der Eigenwert \(\lambda_1=2\) die geometrische Vielfachheit \(2\) besitzt, mit den beiden Basisvektoren als Eigenvektoren.
zu b) Für den Eigenwert \(\blue{\lambda_2=5}\) finden wir:$$\begin{array}{rrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & =\\\hline2-\blue5 & 3 & 0 & 0 & 0\\0 & 5-\blue5 & 0 & 0 & 0\\0 & 5 & 2-\blue5 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 2-\blue5 & 0\\\hline-3 & 3 & 0 & 0 & 0 & \div(-3)\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 5 & -3 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & -3 & 0\\\hline1 & -1 & 0 & 0 & 0 & +\text{Zeile 4}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 5 & -3 & 0 & 0 & -5\cdot\text{Zeile 4}\\0 & 1 & 1 & -3 & 0\\\hline1 & 0 & 1 & -3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -8 & 15 & 0 & \div(-8)\\0 & 1 & 1 & -3 & 0\\\hline1 & 0 & 1 & -3 & 0 & -\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -\frac{15}{8} & 0 & \\0 & 1 & 1 & -3 & 0 & -\text{Zeile 3}\\\hline1 & 0 & 0 & -\frac{9}{8} & 0 & \Rightarrow \pink{x_1=\frac98x_4}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -\frac{15}{8} & 0 & \Rightarrow \pink{x_3=\frac{15}{8}x_4}\\[0.5ex]0 & 1 & 0 & -\frac{9}{8} & 0 &\Rightarrow \pink{x_2=\frac98x_4}\end{array}$$Wir erhalten 3 Forderungen und damit alle Lösungen der Eigenwertgleichung:$$\vec x=\begin{pmatrix}\pink{x_1}\\\pink{x_2}\\\pink{x_3}\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\pink{\frac98x_4}\\[1ex]\pink{\frac{9}{8}x_4}\\[1ex]\pink{\frac{15}{8}x_4}\\x_4\end{pmatrix}=\frac{x_4}{8}\cdot\begin{pmatrix}9\\9\\15\\8\end{pmatrix}$$
Die Lösungen haben einen Freiheitsgrad, sodass der Eigenwert \(\lambda_2=5\) die geometrische Vielfachheit \(1\) besitzt, mit dem angegebenen Basisvektor als Eigenvektor.
