Zeigen das \vec{B} gleich null ist.

Question

Aufgabe:

Zeige das die Divergenz von \(\vec{B}\) gleich 0 ergibt (für r≠0).

\(\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} (\frac{3 (\vec{m} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5} - \frac{\vec{m}}{r^3})\)

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man die Divergenz von \( \vec{B} \)?

Ich habe zunächst versucht, sie über grobe Ableitungen mithilfe der Komponenten von \( \vec{m} \) zu bestimmen. Allerdings stellte sich das als sehr aufwendig heraus.

Als ich ChatGPT gefragt habe, ob es eine einfachere Lösung gibt, wurde mir empfohlen, die Terme einzeln zu betrachten:

\(\nabla \cdot \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \nabla \cdot \left( \frac{3 (\vec{m} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5} \right) - \nabla \cdot \left( \frac{\vec{m}}{r^3} \right) \right)\)

Ich habe dies auch so versucht und zunächst die Divergenz von \( \nabla \left(3 (\vec{m} \cdot \vec{r})\cdot \vec{r} \right) \) sowie die von \( \nabla \left(\frac{1}{r^5} \right) \) berechnet. Allerdings erhielt ich beim Nachprüfen mit ChatGPT ganz andere Ergebnisse.

Zudem habe ich online ähnliche Aufgaben gefunden, in denen mit völlig anderen Rechenregeln gearbeitet wurde. Nun bin ich verwirrt und weiß nicht genau, wie ich vorgehen soll.

Kann mir jemand helfen?

Comments

ohne deine konkreten Rechnungen oder die anderen zitierten "Rechenregeln" zu sehen kann man dazu wenig sagen.

lul

---

Als ich ChatGPT gefragt habe, ob es eine einfachere Lösung gibt ...

"Sag Puh, was ist diese Künstliche Intelligenz?" fragte Ferkel etwas beunruhigt. "Das ist so ein Ding, das denkt wenn wir was anderes machen" sagte Puh. "Und was machen wir dann?" fragte Ferkel. "Am besten ein Abendessen" sagte Puh beruhigend.

Answer 1

Aloha :)

Zur Berechnung der Divergenz des Vektorfeldes \(\vec B(\vec r)\) bringen wir den konstanen Vorfaktor auf die linke Seite und definieren uns ein neues Vektorfeld:$$\vec f(\vec r)\coloneqq\frac{4\pi}{\mu_0}\,\vec B(\vec r)=\frac{3(\vec m\,\vec r)\,\vec r}{r^5}-\frac{\vec m}{r^3}$$

Die Komponenten von \(\vec f(\vec r)\) schreiben wir einzeln auf:$$f_i(x_1;x_2;x_3)=\frac{\overbrace{3(m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3)\cdot x_i}^{=u}}{\underbrace{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^{5/2}}_{=v}}-\frac{m_i}{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^{3/2}}$$und bestimmen die partielle Ableitung von \(f_i\) nach \(x_i\):$$\frac{\partial f_i}{\partial x_i}=\frac{\overbrace{\left(3m_i\cdot x_i+3(m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3)\cdot1\right)}^{=u'}\cdot\overbrace{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^{5/2}}^{=v}}{\underbrace{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^5}_{=v^2}}$$$$\phantom{\frac{\partial f_i}{\partial x_i}}-\frac{\overbrace{3(m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3)\cdot x_i}^{=u}\cdot\overbrace{\frac52\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^{3/2}\cdot2x_i}^{=v'}}{\underbrace{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^5}_{=v^2}}$$$$\phantom{\frac{\partial f_i}{\partial x_i}}+\frac{m_i\cdot\frac32\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^{1/2}\cdot2x_i}{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^3}$$$$\phantom{\frac{\partial f_i}{\partial x_i}}=\frac{\left(3m_ix_i+3\vec m\,\vec r\right)\cdot r^5}{r^{10}}-\frac{15\vec m\,\vec r\,r^3\,\cdot x_i^2}{r^{10}}+\frac{3m_ix_i}{r^5}$$$$\phantom{\frac{\partial f_i}{\partial x_i}}=\frac{6m_ix_i+3\vec m\,\vec r}{r^5}-\frac{15\vec m\,\vec r\cdot x_i^2}{r^7}$$

Die Divergenz ist die Summe der drei partiellen Ableitungen \(i=1,2,3\):$$\operatorname{div}(\vec f)=\frac{6m_\pink1x_\pink1+3\vec m\,\vec r}{r^5}+\frac{6m_\green2x_\green2+3\vec m\,\vec r}{r^5}+\frac{6m_\blue3x_\blue3+3\vec m\,\vec r}{r^5}$$$$\phantom{\operatorname{div}(\vec f)}-\frac{15\vec m\,\vec r\cdot x_{\pink1}^2}{r^7}-\frac{15\vec m\,\vec r\cdot x_{\green2}^2}{r^7}-\frac{15\vec m\,\vec r\cdot x_{\blue3}^2}{r^7}$$$$\phantom{\operatorname{div}(\vec f)}=\frac{6(m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3)+9\vec m\,\vec r}{r^5}-\frac{15\vec m\,\vec r\,(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}{r^7}$$$$\phantom{\operatorname{div}(\vec f)}=\frac{6\vec m\,\vec r+9\vec m\,\vec r}{r^5}-\frac{15\vec m\,\vec r\,r^2}{r^7}=\frac{15\vec m\,\vec r}{r^5}-\frac{15\vec m\,\vec r}{r^5}=0$$

Damit verschwindet auch die Divergenz des Vektorfeldes \(\vec B(\vec r)\).

Answer 2

Ich nehme an, die Angabe fehlt, Du meinst \(B(m)=...\)? Es geht also um die Variablen \(m_i\), und zwar im \(R^3\) (auch diese Angabe fehlt)? Weiter, ich rate zum dritten Mal: ist \(r=\|\vec r\|_2\)?

Wo ist denn da was aufwendig? Es ist

\(\frac{\partial B_i}{\partial m_i}(m)=\frac{3r_i^2}{r^5}-\frac1{r^3}\).

Den Vorfaktor hab ich weggelassen, spielt eh keine Rolle.

Nun summieren gibt leicht \(div\, B=0\).

Warum Du anstelle \(div\, B\), wie von chatGPT geraten, \(div\, \nabla B\) ausrechnen willst, weiß ich nicht.

Comments

Das nabla hinter dem div war versehentlich hingeschrieben. Ändere ich gleich noch.

Und detailliertere Angaben wurden nicht gezeigt. Nur das was ich in der Aufgabenstellung geschrieben habe, war gegeben

---

Die Aufgabe lautet sicher nicht wörtlich so wie Du es oben genannt hast. Poste mal ein Foto.

Wie es vermutlich gemeint ist, s.o.. In 2d ist die Aussage falsch, wie Du beim Nachrechnen sicherlich bemerkt hast.