Zeigen das \vec{B} gleich null ist.

Question

Aufgabe:

Zeige das die Divergenz von \(\vec{B}\) gleich 0 ergibt (für r≠0).

\(\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} (\frac{3 (\vec{m} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5} - \frac{\vec{m}}{r^3})\)

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man die Divergenz von \( \vec{B} \)?

Ich habe zunächst versucht, sie über grobe Ableitungen mithilfe der Komponenten von \( \vec{m} \) zu bestimmen. Allerdings stellte sich das als sehr aufwendig heraus.

Als ich ChatGPT gefragt habe, ob es eine einfachere Lösung gibt, wurde mir empfohlen, die Terme einzeln zu betrachten:

\(\nabla \cdot \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \nabla \cdot \left( \frac{3 (\vec{m} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5} \right) - \nabla \cdot \left( \frac{\vec{m}}{r^3} \right) \right)\)

Ich habe dies auch so versucht und zunächst die Divergenz von \( \nabla \left(3 (\vec{m} \cdot \vec{r})\cdot \vec{r} \right) \) sowie die von \( \nabla \left(\frac{1}{r^5} \right) \) berechnet. Allerdings erhielt ich beim Nachprüfen mit ChatGPT ganz andere Ergebnisse.

Zudem habe ich online ähnliche Aufgaben gefunden, in denen mit völlig anderen Rechenregeln gearbeitet wurde. Nun bin ich verwirrt und weiß nicht genau, wie ich vorgehen soll.

Kann mir jemand helfen?

Comments

ohne deine konkreten Rechnungen oder die anderen zitierten "Rechenregeln" zu sehen kann man dazu wenig sagen.

lul

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Als ich ChatGPT gefragt habe, ob es eine einfachere Lösung gibt ...

"Sag Puh, was ist diese Künstliche Intelligenz?" fragte Ferkel etwas beunruhigt. "Das ist so ein Ding, das denkt wenn wir was anderes machen" sagte Puh. "Und was machen wir dann?" fragte Ferkel. "Am besten ein Abendessen" sagte Puh beruhigend.

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Denkst du wirklich, ich würde die ganze Zeit nur KIs benutzen, damit sie meine Aufgaben erledigen?

Ich habe doch geschrieben, dass ich nicht weiterkam und deshalb ChatGPT gefragt habe, weil es manchmal gute Ansätze liefert.

Warum sollte ich stundenlang an einer Aufgabe sitzen, bei der ich nicht mehr weiterkomme? Das ergibt absolut keinen Sinn und bringt mir am Ende nichts, außer dass ich mir den Kopf über etwas zerbreche, das ich nicht lösen kann!

Ich hatte nun mal ein Problem, bei dem ich nicht weiterkam – was ist so schlimm daran, eine KI um Hilfe zu bitten?

Schön für dich, dass du nie Probleme in Mathe hast, aber nicht jeder ist so wie du!

Vor allem finde ich es bemerkenswert, dass es hier Leute im Forum gibt, die mir wirklich vernünftige Antworten gegeben haben, anstatt mich direkt zu beurteilen, nur weil ich eine KI als Hilfsmittel verwendet habe.

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ich bin ziemlich sicher nicht so gut in Mathe wie Du, und habe nur Puhbär zitiert. Sorry, wenn das falsch angekommen sein sollte. Zudem halte ich ChatGPT, auch aufgrund eigener Exploration, für ungeeignet in Sachen Mathematik.

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Siehe dazu die 3. Antwort.

Answer 1

Aloha :)

Zur Berechnung der Divergenz des Vektorfeldes \(\vec B(\vec r)\) bringen wir den konstanen Vorfaktor auf die linke Seite und definieren uns ein neues Vektorfeld:$$\vec f(\vec r)\coloneqq\frac{4\pi}{\mu_0}\,\vec B(\vec r)=\frac{3(\vec m\,\vec r)\,\vec r}{r^5}-\frac{\vec m}{r^3}$$

Die Komponenten von \(\vec f(\vec r)\) schreiben wir einzeln auf:$$f_i(x_1;x_2;x_3)=\frac{\overbrace{3(m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3)\cdot x_i}^{=u}}{\underbrace{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^{5/2}}_{=v}}-\frac{m_i}{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^{3/2}}$$und bestimmen die partielle Ableitung von \(f_i\) nach \(x_i\):$$\frac{\partial f_i}{\partial x_i}=\frac{\overbrace{\left(3m_i\cdot x_i+3(m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3)\cdot1\right)}^{=u'}\cdot\overbrace{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^{5/2}}^{=v}}{\underbrace{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^5}_{=v^2}}$$$$\phantom{\frac{\partial f_i}{\partial x_i}}-\frac{\overbrace{3(m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3)\cdot x_i}^{=u}\cdot\overbrace{\frac52\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^{3/2}\cdot2x_i}^{=v'}}{\underbrace{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^5}_{=v^2}}$$$$\phantom{\frac{\partial f_i}{\partial x_i}}+\frac{m_i\cdot\frac32\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^{1/2}\cdot2x_i}{\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)^3}$$$$\phantom{\frac{\partial f_i}{\partial x_i}}=\frac{\left(3m_ix_i+3\vec m\,\vec r\right)\cdot r^5}{r^{10}}-\frac{15\vec m\,\vec r\,r^3\,\cdot x_i^2}{r^{10}}+\frac{3m_ix_i}{r^5}$$$$\phantom{\frac{\partial f_i}{\partial x_i}}=\frac{6m_ix_i+3\vec m\,\vec r}{r^5}-\frac{15\vec m\,\vec r\cdot x_i^2}{r^7}$$

Die Divergenz ist die Summe der drei partiellen Ableitungen \(i=1,2,3\):$$\operatorname{div}(\vec f)=\frac{6m_\pink1x_\pink1+3\vec m\,\vec r}{r^5}+\frac{6m_\green2x_\green2+3\vec m\,\vec r}{r^5}+\frac{6m_\blue3x_\blue3+3\vec m\,\vec r}{r^5}$$$$\phantom{\operatorname{div}(\vec f)}-\frac{15\vec m\,\vec r\cdot x_{\pink1}^2}{r^7}-\frac{15\vec m\,\vec r\cdot x_{\green2}^2}{r^7}-\frac{15\vec m\,\vec r\cdot x_{\blue3}^2}{r^7}$$$$\phantom{\operatorname{div}(\vec f)}=\frac{6(m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3)+9\vec m\,\vec r}{r^5}-\frac{15\vec m\,\vec r\,(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}{r^7}$$$$\phantom{\operatorname{div}(\vec f)}=\frac{6\vec m\,\vec r+9\vec m\,\vec r}{r^5}-\frac{15\vec m\,\vec r\,r^2}{r^7}=\frac{15\vec m\,\vec r}{r^5}-\frac{15\vec m\,\vec r}{r^5}=0$$

Damit verschwindet auch die Divergenz des Vektorfeldes \(\vec B(\vec r)\).

Comments

Ah ok! So ähnlich habe ich es auch am Anfang gemacht, nur hatte ich beim Nenner das r nicht als \((x^2_{1}+x^2_{2}+x^2_{3})\) geschrieben gehabt.

Und ich hatte dummerweise nicht direkt an partielle Ableitung gedacht, sondern habe alles "einzelne geableitet"...

Danke nochmals!

Answer 2

Ich nehme an, die Angabe fehlt, Du meinst \(B(m)=...\)? Es geht also um die Variablen \(m_i\), und zwar im \(R^3\) (auch diese Angabe fehlt)? Weiter, ich rate zum dritten Mal: ist \(r=\|\vec r\|_2\)?

Wo ist denn da was aufwendig? Es ist

\(\frac{\partial B_i}{\partial m_i}(m)=\frac{3r_i^2}{r^5}-\frac1{r^3}\).

Den Vorfaktor hab ich weggelassen, spielt eh keine Rolle.

Nun summieren gibt leicht \(div\, B=0\).

Warum Du anstelle \(div\, B\), wie von chatGPT geraten, \(div\, \nabla B\) ausrechnen willst, weiß ich nicht.

Comments

Das nabla hinter dem div war versehentlich hingeschrieben. Ändere ich gleich noch.

Und detailliertere Angaben wurden nicht gezeigt. Nur das was ich in der Aufgabenstellung geschrieben habe, war gegeben

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Die Aufgabe lautet sicher nicht wörtlich so wie Du es oben genannt hast. Poste mal ein Foto.

Wie es vermutlich gemeint ist, s.o.. In 2d ist die Aussage falsch, wie Du beim Nachrechnen sicherlich bemerkt hast.

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Das ist hier die Aufgabe :0

Text erkannt:

(a) \( [3] \) Wir betrachten ein magnetisches Dipolfeld
\( \vec{B}_{\text {Dip }}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{3 \vec{r}(\vec{m} \vec{r})}{r^{5}}-\frac{\vec{m}}{r^{3}}\right) \)

Weisen Sie nach, dass tatsächlich (für \( r \neq 0 \) ) gilt: \( \operatorname{div} \vec{B}_{\text {Dip }}=0 \) !

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Ja, da muss man wohl aus dem Zusammenhang, oder der Kenntnis, was ein magnetisches Dipolfeld ist, raten, was gemeint ist. Ich habe also falsch geraten, also war meine Arbeit umsonst. Bin das nächste Mal zurückhaltender bei unvollständigen Aufgabenstellungen.

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Die fehlende Info "magnetisches Dipolfeld" hätte zu der Erkenntnis geführt (über wikipedia), dass die korrekte Schreibweise hier \(B(\vec r)\) wäre, und dann wäre auch klar gewesen was zu rechnen ist. Bitte unbedingt nächstes Mal vollständige Aufgabenstellung liefern.

Nur das was ich in der Aufgabenstellung geschrieben habe, war gegeben

Das war offensichtlich nicht richtig.

Answer 3

Um die Divergenz von \(vec{B}\) zu berechnen, zerlegen wir den Ausdruck in zwei Terme und verwenden Vektoranalysis-Identitäten. Hier ist die schrittweise Lösung:

Gegeben:
\( \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \ \left( \frac{3 (\vec{m} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5} - \frac{\vec{m}}{r^3} \right) \)

Divergenz berechnen: \( \nabla \cdot \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \nabla \cdot \left( \frac{3 (\vec{m} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5} \right) - \nabla \cdot \left( \frac{\vec{m}}{r^3} \right) \right)\)

Erster Term: \(\nabla \cdot \left( \frac{3 (\vec{m} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5} \right) = 3 \left[ \frac{\vec{m} \cdot \vec{r}}{r^5} (\nabla \cdot \vec{r}) + \vec{r} \cdot \nabla \left( \frac{\vec{m} \cdot \vec{r}}{r^5} \right) \right] \) Hier ist \(\nabla \cdot \vec{r} = 3).\)

Für den Gradient: \( \nabla \left( \frac{\vec{m} \cdot \vec{r}}{r^5} \right) = \frac{\vec{m}}{r^5} - \frac{5 (\vec{m} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^7} \)

Setzen wir das zusammen: \( \nabla \cdot \left( \frac{3 (\vec{m} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5} \right) = 3 \left[ \frac{\vec{m} \cdot \vec{r}}{r^5} \cdot 3 + \vec{r} \cdot \left( \frac{\vec{m}}{r^5} - \frac{5 (\vec{m} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^7} \right) \right] \)

Zweiter Term: \( \nabla \cdot \left( \frac{\vec{m}}{r^3} \right) = \vec{m} \cdot \nabla \left( \frac{1}{r^3} \right) = -3 \frac{\vec{m} \cdot \vec{r}}{r^5} \)

Zusammenführen: \( \nabla \cdot \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( 9 \frac{\vec{m} \cdot \vec{r}}{r^5} - (-3 \frac{\vec{m} \cdot \vec{r}}{r^5}) \right) = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( 9 + 3 \right) \frac{\vec{m} \cdot \vec{r}}{r^5} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot 12 \frac{\vec{m} \cdot \vec{r}}{r^5} \)

Da die Divergenz von \((\vec{B})\) für \((r \neq 0)\) gleich null ist, folgt: \( \nabla \cdot \vec{B} = 0 \)

Somit ist die Divergenz von \(\vec{B}\) tatsächlich null für \(r \neq 0\).

Comments

Das Ende dieser Ausführungen ist sehr merkwürdig. Vielleicht KI?