Reihenfolge bei Hauptnennererweiterung

Question

Aufgabe:

\( \frac{5}{x+1} \) =\( \frac{8}{x} \) -\( \frac{3}{x-1} \)

Problem/Ansatz:

Der Hauptnenner hier ist x·(x+1)·(x-1).

Wieso schreibt man nicht in der Reihenfolge, in der die Nenner kommen?

Sprich (x+1)·x·(x-1)?

Wie ist die Regel für die Reihenfolge?

Comments

$$\frac{5}{x + 1} = \frac{8}{x} - \frac{3}{x - 1} \newline 5x(x - 1) = 8(x + 1)(x - 1) - 3x(x + 1) \newline 5x^2 - 5x = 8(x^2 - 1) - (3x^2 + 3x) \newline 5x^2 - 5x = 8x^2 - 8 - 3x^2 - 3x \newline 5x^2 - 5x = 5x^2 - 8 - 3x \newline - 2x = - 8 \newline x = 4$$

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Um Gottes Willen !

Wieso schreibt man am Ende deiner zweiten Zeile nicht in der Reihenfolge, in der die Nenner kommen?
Sprich (x+1)·x ?
Wie ist die Regel für die Reihenfolge?

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Wie ist die Regel für die Reihenfolge?

Die Regel für die Reihenfolge wurden jetzt schon mehrfach genannt.

Bei einer reinen Multiplikation gilt das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz), welches besagt, dass die Faktoren vertauscht werden dürfen.

Siehe dazu auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Kommutativgesetz

Answer 1

Hi,

das ist das Kommutativgesetz. Auch "Austauschgesetz" genannt. Du kannst also Faktoren in beliebiger Reihenfolge hinschreiben. Das "x" nach vorne zu setzen dient der Übersicht. Kannst Du machen musst Du aber nicht.

Grüße

P.S.: Achte bitte auf Klammerschreibweise. Du meinst sicher:

5/(x+1) = 8/x - 3/(x-1)

Comments

Hallo,

ich weiß, dass ich die Faktoren zur besseren übersichtlichkeit vertauschen darf.

Um zu sehen ob es wirklich keinen Unterschied macht habe ich "unübersichtich" verrechnet.

Daraufhin bin ich auf folgendes gestoßen (siehe Anhang)

Ich müsste dann Klammern setzten damit ich wieder auf das richtige Ergebniss komme.

Darf ich die setzen weil ein * vor und hinter der Ursprungsklammer ist?

Text erkannt:

14:39 Sa., 1. März ME
Ohne Titel 2025-01-26
陸 \( 51 \% \)
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e) \( \frac{5}{x+1}=\frac{8}{x}-\frac{3}{x-1} \)
\( \begin{array}{l} \left.\frac{5}{x+1}=\frac{8}{x}-\frac{3}{x-1} \quad \right\rvert\,(x+7) x \cdot(x-1) \\ 1 x \cdot(x+7) \cdot(x-7) \\ (x-7)=x(x+7) \\ 5 \cdot(x-1) \cdot x=8 \cdot(x+1) \cdot(x-1)-3 \cdot x(x+1) \\ 5 x-5-x=8 \cdot\left(x^{2}-1\right)-3 x^{2}-3 x \\ \downarrow \\ (5 x-5) \cdot x ? \end{array} \)

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5(x-1)x = (5x-5)x

Und nicht = 5x-5*x

Wenn du die 5 mit der Klammer multiplizierst, werden alle Terme in der Klammer mit 5 multipliziert und das gesamte Ergebnis (alles in der Klammer) dann mit x, nicht nur die 5.

Answer 2

Die Reihenfolge der Faktoren  bei einem Produkt ist egal.

Answer 3

der Hauptnenner hier ist * x (x+1)*(x-1)

Nein. Weil Punktvorstrich.

Es wäre der Hauptnenner von 5/(x+1) = 8/x - 3/(x-1)

Answer 4

Aloha :)

Die Reihenfolge, in der zu Zahlen miteinander multiplizierst, ist für das Ergebnis egal. Daher ist auch die Reihenfolge egal, in der du die Terme in den Nenner schreibst.

Bei dieser Aufgabe brauchst du aber gar nicht den Hauptnenner für alle 3 Brüche zu bestimmen:$$\frac{5}{x+1}=\pink{\frac{8}{x}}-\frac{3}{x-1}$$$$\frac{5}{x+1}=\pink{\frac{5}{x}}\pink+\pink{\frac{3}{x}}-\frac{3}{x-1}\quad\bigg|-\frac5x$$$$\frac{5}{x+1}-\frac5x=\frac{3}{x}-\frac{3}{x-1}$$

Jetzt kannst du die beiden Brüche auf jeder Seite addieren:$$\frac{5x-5(x+1)}{x(x+1)}=\frac{3(x-1)-3x}{x(x-1)}$$$$\frac{-5}{x(x+1)}=\frac{-3}{x(x-1)}$$

Auf beiden Seiten mit \((-1)\) multiplizieren und die Kehrwerte nehmen:$$\frac{x(x+1)}{5}=\frac{x(x-1)}{3}$$Da \(x=0\) als Lösung eh wegfällt (denn \(\frac8x\) ist für \(x=0\) nicht definiert) muss \(x\ne0\) sein, sodass wir beide Seiten durch \(x\) dividieren dürfen:$$\frac{x+1}{5}=\frac{x-1}{3}$$

Jetzt erweiterst du noch mit \(15\) und bist fertig:$$3(x+1)=5(x-1)\implies3x+3=5x-5\implies8=2x\implies x=4$$

Comments

Tschaka, deine Rechnung beginnt ganz pfiffig, ist dann aber länger als der vierzeilige Standard-Lösungsweg:

1. Erweitern auf den Hauptnenner und Durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner.

2. Klammern auflösen.

3. Zusammenfassen.

4. Division durch den Koeffizienten von x.

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Die Gretchenfrage:

Eine Rechenaufgabe lieber in 5 Minuten standardmäßig abarbeiten oder 15 Minuten nach einem eleganten Weg suchen?

Übrigens: Wir haben 5 "Antworten", aber nur der Kommentar von Jumanji hat das Problem des Fragestellers aufgegriffen.

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Mathhilf, deiner Aussage 'Wir haben 5 "Antworten", aber nur der Kommentar von Jumanji hat das Problem des Fragestellers aufgegriffen.' stimme ich zu. Deine Gretchenfrage 'Eine Rechenaufgabe lieber in 5 Minuten standardmäßig abarbeiten oder 15 Minuten nach einem eleganten Weg suchen? beantworte ich so: Die Freude über das Finden eines eleganten Weges kann für die Dauer des Suchens entschädigen.

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Das bekannte Dilemma: Die Gretchenfrage stellt sich ja der hilfesuchende FS, die Antwort von Roland darauf gibt aber der Antworter für sich. Das passt halt nicht zusammen. Es geht halt nicht um den hilfesuchenden FS bei den überzähligen Antworten.

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Stimme @nudger zu. Es geht hier offenbar mal wieder nur um die Helfer, zumindest bei einigen.

Die eine Antwort bemängelt nur wieder Fehler des FS, ohne auf die eigentliche Frage einzugehen.

Eine weitere Antwort rechnet natürlich rigoros vor, obwohl das gar nicht vom FS gefordert wurde, geht aber immerhin zu Beginn kurz auf die gestellte Frage ein.

Eine Antwort geht kurz und prägnant auf die Frage des FS ein.

Eine Antwort ist ein wenig ausführlicher als die vorherige Antwort und geht zusätzlich auf einen gemachten Fehler des FS ein.

Eine Antwort rechnet ebenfalls nur vor und ignoriert die vom FS gestellte Frage völlig.

Und eine anscheinend ehemalige Antwort rechnet ohne jeglichen Kommentar vor und geht ebenfalls nicht auf die gestellte Frage ein.

Fazit: Nur zwei der 5 (6) Antworten haben einen direkten Bezug zur vom FS gestellten Frage. Das ist doch eine gute Quote.

Grüße gehen raus an diejenige Person, die diesen Kommentar als Spam markiert. :)

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Das ist alles Gelaber, das dem FS nicht hilft.

Answer 5

\(\frac{5}{x+1}=\frac{8}{x}-\frac{3}{x-1}  |+\frac{3}{x-1} \)

\(\frac{5}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{8}{x}\)

Nun \(\frac{5}{x+1}\) mit \(x-1\) und \(\frac{3}{x-1}\) mit \(x+1\) erweitern:

\(\frac{5(x-1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{8}{x}\) 

Mit dem 3. Binom gibt es nun :

\(\frac{5(x-1)}{x^2-1}+\frac{3(x+1)}{x^2-1}=\frac{8}{x}\)

Die linke Seite kann nun auf einen Bruchstrich geschrieben werden:

\(\frac{5(x-1)+3(x+1)}{x^2-1}=\frac{8}{x}\)  linke Seite Zähler vereinfachen:

\(\frac{8x-2}{x^2-1}=\frac{8}{x}\)  Über Kreuz Multiplikation:

\((8x-2)\cdot x=8x^2-8\)  Vereinfachen:

\(8x^2-2x=8x^2-8 |-8x^2\) 

\(-2x=-8 |:(-2)\)

\(x=4\)