Reihenfolge bei Hauptnennererweiterung

Question

Aufgabe:

\( \frac{5}{x+1} \) =\( \frac{8}{x} \) -\( \frac{3}{x-1} \)

Problem/Ansatz:

Der Hauptnenner hier ist x·(x+1)·(x-1).

Wieso schreibt man nicht in der Reihenfolge, in der die Nenner kommen?

Sprich (x+1)·x·(x-1)?

Wie ist die Regel für die Reihenfolge?

Answer 1

Hi,

das ist das Kommutativgesetz. Auch "Austauschgesetz" genannt. Du kannst also Faktoren in beliebiger Reihenfolge hinschreiben. Das "x" nach vorne zu setzen dient der Übersicht. Kannst Du machen musst Du aber nicht.

Grüße

P.S.: Achte bitte auf Klammerschreibweise. Du meinst sicher:

5/(x+1) = 8/x - 3/(x-1)

Comments

Hallo,

ich weiß, dass ich die Faktoren zur besseren übersichtlichkeit vertauschen darf.

Um zu sehen ob es wirklich keinen Unterschied macht habe ich "unübersichtich" verrechnet.

Daraufhin bin ich auf folgendes gestoßen (siehe Anhang)

Ich müsste dann Klammern setzten damit ich wieder auf das richtige Ergebniss komme.

Darf ich die setzen weil ein * vor und hinter der Ursprungsklammer ist?

Text erkannt:

14:39 Sa., 1. März ME
Ohne Titel 2025-01-26
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e) \( \frac{5}{x+1}=\frac{8}{x}-\frac{3}{x-1} \)
\( \begin{array}{l} \left.\frac{5}{x+1}=\frac{8}{x}-\frac{3}{x-1} \quad \right\rvert\,(x+7) x \cdot(x-1) \\ 1 x \cdot(x+7) \cdot(x-7) \\ (x-7)=x(x+7) \\ 5 \cdot(x-1) \cdot x=8 \cdot(x+1) \cdot(x-1)-3 \cdot x(x+1) \\ 5 x-5-x=8 \cdot\left(x^{2}-1\right)-3 x^{2}-3 x \\ \downarrow \\ (5 x-5) \cdot x ? \end{array} \)

---

5(x-1)x = (5x-5)x

Und nicht = 5x-5*x

Wenn du die 5 mit der Klammer multiplizierst, werden alle Terme in der Klammer mit 5 multipliziert und das gesamte Ergebnis (alles in der Klammer) dann mit x, nicht nur die 5.

Answer 2

Die Reihenfolge der Faktoren  bei einem Produkt ist egal.

Answer 3

der Hauptnenner hier ist * x (x+1)*(x-1)

Nein. Weil Punktvorstrich.

Es wäre der Hauptnenner von 5/(x+1) = 8/x - 3/(x-1)

Answer 4

Aloha :)

Die Reihenfolge, in der zu Zahlen miteinander multiplizierst, ist für das Ergebnis egal. Daher ist auch die Reihenfolge egal, in der du die Terme in den Nenner schreibst.

Bei dieser Aufgabe brauchst du aber gar nicht den Hauptnenner für alle 3 Brüche zu bestimmen:$$\frac{5}{x+1}=\pink{\frac{8}{x}}-\frac{3}{x-1}$$$$\frac{5}{x+1}=\pink{\frac{5}{x}}\pink+\pink{\frac{3}{x}}-\frac{3}{x-1}\quad\bigg|-\frac5x$$$$\frac{5}{x+1}-\frac5x=\frac{3}{x}-\frac{3}{x-1}$$

Jetzt kannst du die beiden Brüche auf jeder Seite addieren:$$\frac{5x-5(x+1)}{x(x+1)}=\frac{3(x-1)-3x}{x(x-1)}$$$$\frac{-5}{x(x+1)}=\frac{-3}{x(x-1)}$$

Auf beiden Seiten mit \((-1)\) multiplizieren und die Kehrwerte nehmen:$$\frac{x(x+1)}{5}=\frac{x(x-1)}{3}$$Da \(x=0\) als Lösung eh wegfällt (denn \(\frac8x\) ist für \(x=0\) nicht definiert) muss \(x\ne0\) sein, sodass wir beide Seiten durch \(x\) dividieren dürfen:$$\frac{x+1}{5}=\frac{x-1}{3}$$

Jetzt erweiterst du noch mit \(15\) und bist fertig:$$3(x+1)=5(x-1)\implies3x+3=5x-5\implies8=2x\implies x=4$$