Faktorenzerlegung durch Termumformung

Question

Aus Anlass einer ausufernden Diskussion auf dieser Seite formuliere ich (vor allem für Moliets) die Aufgabe: Entwickle nur durch Termumformung eine Faktorenzerlegung von x²+px+q.

Comments

Du meinst also quadratische Ergänzung + dritte binomische Formel? Oder hast du etwas anderes im Sinn?

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Ja, was denn sonst. Aber damit hast du Moliets einen Teil der Arbeit leider bereits abgenommen.

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Unter Anwendung der \(pq\)-Formel sind die Nullstellen

\(x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\),

weshalb sich damit die Produktdarstellung

\(\left(x+\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right)\left(x+\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\right)\)

ergibt.

Ist der Term nun ein Binom, gilt \(\frac{p^2}{4}=q\) und die Darstellung vereinfacht sich zu

\((x+\frac{p}{2})^2\).

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Eine Entwicklung nur durch Termumformung ist das allerdings nicht.

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Wo sind wir denn hier? In \(\R\)? Dann werfe ich mal x^2+1 in die Debatte

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Deswegen ja auch nur ein Kommentar und keine Antwort.

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(Das sollte ein Kommentar zur Frage sein, ist jetzt hinter Deinen Kommentar gerutscht)

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x²+px+q

=x²+2•(½p)•x+(½p)² - (½p)²+q

=(x+½p)² - (¼p²-q)      (#)

=(x+½p)² - (√(¼p²-q))²

=( x+½p - √(¼p²-q) )( x+½p + √(¼p²-q) )

Fertig!

(#) Sei ¼p²-q ≥ 0.

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Das 3. Gleichheitszeichen ist (allgemein) falsch.

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@Mathhilf:

Du hast natürlich Recht. Darum habe ich meinen Kommentar ergänzt.

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Mal sehen ob MC das auch merkt…

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Strenggenommen gehört diese Voraussetzung in die Aufgabe, nicht in die Antwort.

Answer 1

$$x^2 + px + q \newline = x^2 + px + \left( \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q \newline = \left( x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q \right) \newline = \left( x + \frac{p}{2} + \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} \right) \cdot \left( x + \frac{p}{2} - \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} \right)$$

Answer 2

\(x^2+px+q=0\)

\(x^2+px=-q\)

\(x^2+px+(\frac{p}{2})^2=-q+(\frac{p}{2})^2\)

\((x+\frac{p}{2})^2=-q+\frac{p^2}{4}=\frac{p^2-4q}{4}|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x+\frac{p}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{p^2-4q}\)

\(x_1=-\frac{p}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{p^2-4q}\)

2.)

\(x+\frac{p}{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{p^2-4q}\)

\(x_2=-\frac{p}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{p^2-4q}\)

\(x^2+px+q\\=[x-(-\frac{p}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{p^2-4q})][x-(-\frac{p}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{p^2-4q})]\\=[x+\frac{p}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{p^2-4q}][x+\frac{p}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{p^2-4q}]\)

Comments

Eine Lösung durch Termumformung muss so aussehen: Term₁=Term₂=Term₃=... Das ist bei deiner Antwort nicht der Fall.

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Das Problem ist das +/- der Wurzel.

Ich vermute, da das keine Äquivalenzumformung ist, geht das prinzipiell nicht.

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Wir haben doch nun schon ein paar Mal die Dritte Binomische Formel ins Spiel gebracht.

Zerlege x² - 49 in ein Produkt. Antwort:  x² - 49 = (x + 7)(x - 7)

Binomische Formeln sind dazu da, angewandt zu werden. Deshalb gibt es sie…