Querschnittsfläche berechnen (Extremwertaufgaben)

Question

Aufgabe:

Aus einem Baumstamm mit Durchmesser 40 cm soll ein Balken mit größtmöglichem rechteckigen Querschnitt herausgeschnitten werden. Ich soll die Abmessungen dieser Querschnittsfläche berechnen.

Problem/Ansatz:

Gleich vorweg, ich habe weiter unten für Wurzel einfach nur sqrt hingetan, weil das mit den Formeln nicht so recht hingehaut hat irgendwie. Ich hoffe es ist trotzdem verständlich

Ich kenne zwar die Haupt und Nebenbedingungen:

HB: A=a*b

NB: 40=sqrta²+b²

daraus: a=sqrt1600-b²

aber richtig kommt halt heraus a=b=\( \sqrt{800} \)cm, also ca. 28,28cm. wie komme ich darauf? also ich weiß, dass ich diese Variable a dann in die HB einsetze, aber bei mir kommt dann halt am Ende für a 0 heraus.

Comments

NB: 40=sqrta^2+b^2

Wie kommst du auf 40?

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sorry, habe hier falsch abgeschrieben, weil ich zwei aufgaben verwechselt habe. habe es korrigiert , jetzt sollte es stimmen

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Also $$50=\sqrt{a^2+b^2}\quad\textrm{?}$$

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NB: 40=sqrta²+b²

Wurzelziehen hat Präzedenz über Addition. D.h. Du solltest schreiben 40 = sqrt(a²+b²) denn sonst wäre nur die Wurzel des ersten Summanden gemeint.

Answer 1

a=sqrt1600-b²

Genauer gesagt

         a=sqrt(1600-b²).

Verwende Klammern um deutlich zu machen, wovon die Wurzel gezogen wird.

In die Hauptbedingung einsetzen ergibt

        A(b)= sqrt(1600-b²)·b

Jetzt Hochpunkt von A bestimmen indem

        A'(b) = 0

gesetzt wird, die Gleichung gelöst wird, und dann mit einem hinreichend Kriterium für Hochpunkte geprüft wird, welche der Lösungen zu einem Hochpunkt führt.

aber bei mir kommt dann halt am Ende für a 0 heraus.

Dan ist beim Aufstellen oder Lösen der Gleichung etwas schief gelaufen.

Answer 2

Da ist vermutlich beim Ableiten oder Umstellen was schiefgegangen.

Wenn man die Ableitung =0 setzt, erhält man nach Multiplikation mit dem Nenner (die Wurzel)  \(1600-a^2-a^2=0\).

Wenn Du den Fehler nicht findest, lade Deine Rechnung hoch.

Answer 3

daraus: a=sqrt(1600-b^2)

Das sieht so weit schon gut aus. Das musst du jetzt in die HB einsetzen, diese ableiten und null setzen und nach b auflösen.

Bekommst du das hin? Du solltest am Ende die Lösung a = b = √800 bekommen. Deine Musterlösung ist also richtig.

Beim Ableiten kannst du zur Kontrolle einen Ableitungsrechner benutzen.

[spoiler]

A(b) = √(1600 - b^2)·b

A'(b) = (1600 - 2·b^2) / √(1600 - b^2) = 0 --> b = √800 ≈ 28.28 cm (negative Lösung entfällt.)

[/spoiler]