Wie kann x1 eine Doppelte Nullstelle sein wenn der Graph sie nicht berrührt?

Question

Aufgabe: Siehe Bild

Problem/Ansatz:

Handelt es sich in Aufgabe b auch um eine Doppelte Nullstelle bei x1?

In der Lösung für a wird von einer Doppelten gespochen.

Darf ich bei Aufgabe b so ausklammern oder sollte ich nur das x² ausklammern und nicht 2x²?

Ich habe die Gleichung auch in einen Graphenzeichner eingegeben erkenne jedoch nicht wieso x1 eine Doppelte Nullstelle sein sollte wenn der Graph nur aus 2 Senkrechten Linien besteht, kann mir das jemand bitte erklären?

Text erkannt:

18:01 Mo., 17. März ME
\( 46 \% \)
Ohne Titel 2025-01-26
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シ
1. Lose die speziellen Typen quartischer Gleichungen der Form: \( a \cdot x^{4}+c \cdot x^{2}= \) 0
a) \( \quad x^{4}-x^{2}=0 \)
b) \( \quad 2 \cdot x^{4}-8 \cdot x^{2}=0 \)
c) \( 3 \cdot x^{4}-27 \cdot x^{2}=0 \)
a) \( \dot{x}^{4}-x^{2}=0 \) (Anslliammern
b) \( 2 \dot{x}^{4}-8 x^{2}=0 \) Masklommen \( x^{2}\left(x^{2}-7\right)=0 \) 榇 \( =0 \) \( =2 x^{2}\left(x^{2}+4\right)=0, \quad x-1=0 \)
\( \begin{array}{l} \hat{y} \cdot x^{2}-4=0 \\ . \quad . \quad x^{2}=4 \\ . \quad . \quad x_{2}=2 \\ . \quad . \quad \geqslant x=-2 . \end{array} \)
\( x^{2}-1=0 \)
\( x^{t}=4 \)
\( x_{2}=1,1 \sqrt{2} \)
\( x k=+\sqrt{1} \)
\( \times \xi=-\dot{\sqrt{7}} \)

 ,

Answer 1

Das ist alles richtig. Allerdings solltest Du am Ende alle Lösungen gesammelt angeben, oder als Lösungsmenge (nicht Gleichungen untereinander). Also: Antwortsatz fehlt.

Man kann \(2x^2\) ausklammern, oder \(x^2\), es gibt oft mehrere Möglichkeiten. Hauptsache es wird richtig ausgeklammert.

Polynome (wie die Funktionen hier) haben eine \(k\)-fache Nullstelle in \(x_0\), wenn \((x-x_0)^k\) ausgeklammert werden kann (und ein anderes Polynom übrig bleibt, nur sicherheitshalber).

Wo Du hier einen Graphen mit zwei senkrechten Linien herholst, weiß ich nicht. Senkrechte Linien sind keine Funktionsgraphen.

Comments

Text erkannt:

18:18 Mo., 17. März
\( 42 \% \) =
N Grafikrechner - GeoGebra
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\( \equiv \) GeoGebra Grafikrechner
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das kommt im Graphenzeichner heraus. Ist das Falsch?

---

Was erwartest Du, wenn Du Gleichungen plottest?

Funktionen plotten und dann die Nullstellen betrachten, das wäre sinnvoll (wenn man was graphisch machen will).

Answer 2

Was sind doppelte Nullstellen?

Handelt es sich in Aufgabe b auch um eine Doppelte Nullstelle bei x1?

Bei einfachen Nullstellen wird die x-Achse geschnitten. Bei doppelten Nullstellen liegt der Extrempunkt auf der x-Achse.

b)    \( \quad 2 \cdot x^{4}-8 \cdot x^{2}=0 \)
Hier kannst x^2 ausklammern:

\( x^2(2x^2-8 )=0 \) Nun weiter mit dem Nullprodukt.

Hier ist der Graph von Aufgabe b:

Answer 3

Es geht ja konkret um Funktionen der Form

f(x) = a·x^4 + c·x^2

und deren Nullstellen. Wenn du also die Funktion zeichnen lassen möchtest, dann solltest du auch nur die Funktion in der obigen Form eingeben.

Nullstellen werden dann berechnen indem man den Funktionsterm gleich Null setzt. Dann kann man hier immer x^2 als eine doppelte Nullstelle ausklammern.

f(x) = a·x^4 + c·x^2 = 0
x^2·(a·x^2 + c) = 0

Jetzt wendet man den Satz vom Nullprodukt / Nullproduktregel an.

x^2 = 0 → x = 0 (2-fach)
a·x^2 + c = 0 --> x = ±√(-c/a) (2 einfache Nullstellen)

Als Schüler kann man sich jetzt die Frage stellen, was passiert, wenn man für a oder c die Zahl Null einsetzt. Wie verändert sich der Graph und wie verändern sich die Nullstellen.

Deine Funktionen sehen also wie folgt aus

~plot~ x^4-x^2;2x^4-8x^2;3x^4-27x^2;[[-4|4|-10|10]] ~plot~