Nutzenoptimum eines Individuums?

Question

Aufgabe:

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U(x₁,x₂) = ( \( \sqrt[5]{x_1} \) + \( \sqrt[5]{x_2} \) ) hoch 4. Gegeben sind die Preise der beiden Güter p₁ = 0,5 und p₂ = 1 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I = 140. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Budgetrestriktion. Runden Sie Zwischenergebnisse nicht - Das Endergebnis aber auf zwei Nachkommastellen.

1. Wie hoch ist die Menge in diesem Nutzenoptimum?

2. Wie hoch ist die Menge in diesem Nutzenoptimum?

3. Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator im Nutzenoptimum?

4. Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau unter gegebener Budgetrestriktion?

Problem/Ansatz

Ich habe alles versucht. Habe die Langragefunktion verwendet, partiell abgeleitet und dann dann x₁ umgeformt, das Ergebnis eingesetzt und versucht, x₂ herauszufinden. Leider kommt bei mir immer die falsche Lösung raus. Kann mir bitte jemand helfen? Danke im Voraus!

Comments

Achtung: Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U(x1,x2)=( \( \sqrt[5]{x1} \) + \( \sqrt[5]{x2} \) ) hoch 5. Ich habe ausversehen hoch 4 in der Angabe geschrieben...

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Lagrange z.B geht, ich komme auf x1=152,10, x2=63,95. lamba=22,97

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Fun fact: drei KIs befragt, drei verschiedene Ergebnisse, eins richtig

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Im Zweifel würde ich dann noch eine 4. KI befragen in der Hoffnung das ein Ergebnis bestätigt wird.

Irgendwann wird es eine Monster KI geben, die einen Runden Tisch simuliert an dem alle KI's sitzen und dann gemeinsam über ein Problem diskutieren :)

Was ich nicht verstehe ist, dass viele Fehler bei einer KI dadurch entstehen, dass sie sich verrechnet. Wenn endlich auch eine kostenlose KI für simple Rechnungen auf einen CAS Rechner zugreifen kann, wäre das doch schon sehr nützlich. Momentan ist das aber den KI's für die man bezahlt vorbehalten. Und da vermutlich auch nicht alle.

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Bei Frage 1 und 2 stimmt etwas nicht.

Habe die Langragefunktion verwendet, partiell abgeleitet und dann ...

Wenn Du Deine Lagrangefunktion und Ableitungen nicht verrätst, dann kann Dir niemnd sagen, wo der Fehler lag.

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Danke! Welche KIs zum kontrollieren könnt ihr mir empfehlen?

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Gar keine. Nimm ein CAS. Die aktuell gerade gehypten KI basieren auf Sprachmodellen, und die rechnen nur zufällig richtig.

Answer 1

Wie lautet denn deine Lagrange-Funktion und die Ableitungen nach x1 und x2 ?

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L(x, y, k) = (x^(1/5) + y^(1/5))^5 - k·(0.5·x + y - 140)
Lx'(x, y, z) = 5·(x^(1/5) + y^(1/5))^4·(1/5·x^(-4/5)) - k/2 = 0
Ly'(x, y, z) = 5·(x^(1/5) + y^(1/5))^4·(1/5·y^(-4/5)) - k = 0

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Löse jetzt beide partiellen Ableitungen nach k auf und nutze das Gleichsetzungsverfahren. und löse die Gleichung nach x2 auf. PS: Du wirst oben schon bemerkt haben das ich x und y statt x1 und x2 nutze.

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10·(x^(1/5) + y^(1/5))^4·(1/5·x^(-4/5)) = 5·(x^(1/5) + y^(1/5))^4·(1/5·y^(-4/5))

--> y = 2^(3/4)/4·x

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Setze das in die Nebenbedingung ein und löse nach x auf.

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0.5·x + 2^(3/4)/4·x = 140

--> x = 560/(2^(3/4) + 2) ≈ 152.10

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Damit kannst du jetzt auch x2, k und U bestimmen

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y = 140/(2^(1/4) + 1) ≈ 63.95

k ≈ 22.97

U ≈ 3215.70

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Kontrolliere das Ergebnis mit Wolframalpha

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Comments

Dankeschön!! Jz weiß ich wo mein Fehler liegt... Ich hab gelesen, dass man mehrere KIs verwenden kann zum kontrollieren - welche kannst du mir empfehlen??

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Wenn du weißt, wie gerechnet werden muss, ist ein Rechentool wie Wolframalpha oder Geogebra besser.

Geogebra ist auch sehr empfehlenswert, wenn es um Analysis, analytische Geometrie oder Stochastik geht, weil man damit auch Probleme sehr gut visualisieren kann.