Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U(x1,x2)=60⋅ln(x1)+25⋅ln(x2)

Question

Aufgabe:

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U(x₁,x₂)=60⋅ln(x₁)+25⋅ln(x₂). Gegeben sind die Preise der beiden Güter p₁=2 und p₂=1 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=260. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Konsummöglichkeiten.


a. Im Nutzenoptimum bei gegebener Budgetrestriktion ist die Menge x₁=220.24.


b. Im Nutzenoptimum bei gegebener Budgetrestriktion ist die Menge x₂=76.47.


c. Der Lagrange-Multiplikator λ beträgt im Nutzenoptimum 0.05.


d. Das maximal zu erreichende Nutzenniveau U(x₁,x₂) bei gegebener Budgetrestriktion liegt bei 432.11.


e. Das optimale Faktoreinsatzverhältnis von x₁ zu x₂ vor der Einkommenserhöhung beträgt 1.20.

Problem/Ansatz:

Ich hab die Funktion mit der Lagrange Methode abgeleitet mit dem Ergebnis x1=91,76 x2=76,47, somit sollte die b richtig sein und a,c und d falsch. Bei der e bin ich mir nicht sicher was da genau gemeint ist, dementsprechend weiß ich nicht ob diese stimmt, kann mir das jemand erklären?

Comments

Du gibst nicht an, was für ein λ Deine Lösung hat. Ich komme auf -17/52 und teile somit die Ansicht, dass Antwort c falsch ist.

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Mein lambda ist 0,33

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Das ist kein Widerspruch. Je nach verwendeter Konvention in der Lagrange-Gleichung kann das Vorzeichen von λ wechseln. Das Optimum von U, x₁ und x₂ bleibt dasselbe.

Answer 1

Gemeint ist

https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzrate_der_Substitution

Comments

Ok, dementsprechend ist die Grenzbrate der Substitution mit mitmeinen Lösungen 2, was heißt da nur b richtig ist. Ich hab das jetzt so eingegeben, den Punkt aber nicht bekommen. Weißt du wo der Fehler liegt?

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Ja. Die Berechnungsweise ist doch in der Wikipedia angegeben.

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Aber welches x1 und welches x2 verwende ich dann?

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Da steht bei "vor der Einkommenserhöhung". Woher ist die, bzw. ist die Aufgabenstellung vollständig wiedergegeben?

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Ja ist sie und die richtige Lösung für die e ist x1/x2. Dann kommt 1.2.

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Ich verstehe diesen Satz nicht. Wann "kommt 1,2"?

Der Grund für meine Rückfrage liegt eigentlich darin, dass da plötzlich von einer "Einkommenserhöhung" die Rede ist, diese in der Aufgabenstellung aber nicht steht.

Wie auch immer, die GRS ist der Kehrwert von Deiner Antwort, also \( \frac{1}{2} \) .

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Ich berechne 1,20 wenn ich meine Lösungen dividiere (x1/x2). Das ist die richtige Berechnungsweise ergo das optimale faktoreinsatzverhältnis, wie ich selbst rausgefunden habe. Damit ist e und b richtig und die Aufgabe gelöst. Trotzdem danke.

Answer 2

Wolframalpha kommt wie ihr auf

max{60 log(x) + 25 log(y)|2 x + y = 260}≈379.576 at (x, y)≈(91.7647, 76.4706)

Damit ist das optimale Faktoreinsetzverhältnis

91.7647 / 76.4706 = 1.199999738

Und damit sind die 1.2 richtig.