Aufgabe:
Konstruieren Sie, ein Beispiel für eine reelle Zahl α, sodass auch
der nullte Näherungsbruch A0 zu α eine beste Näherung zweiter Art ist. Tipp:
Es ist stets A0 ∈ Z. (Warum?) Was passiert nun, wenn wir b = 1
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
Definition 2.3.3. Zu einer gegebenen reellen \( \mathrm{Zahl} \alpha \) nennen wir eine rationale Zahl \( \frac{a}{b} \) mit teilerfremden \( a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N} \) eine beste Näherung zweiter Art zu \( \alpha \), wenn für alle \( c \in \mathbb{Z}, d \in \mathbb{N} \) mit \( \frac{c}{d} \neq \frac{a}{b} \) und \( d \leq b \) die Abschätzung
\( |d \alpha-c|>|b \alpha-a| \)
gilt.
Warum A0 ∈ Z: der 0te Näherungsbruch per Definition den ganzzahligen Anteil von α darstellt, also gehört A_0 immer zu
Meine Vermutung :Der nullte Näherungsbruch ist genau dann eine beste Näherung zweiter Art, wenn der Bruchteil von α kleiner als 1/2 ist -> Begründung
Da die ganzen Zahlen in Z in gleichabständigen Schritten (Abstand 1) liegen, ist A0 genau dann der nächstliegende ganze Wert zu α, wenn der Abstand |α−A0| kleiner ist als 1/2
Weiß jemand ob das so richtig ist ? Mir wurde gesagt das nullte Näherungsbruch nur bei einer Ausnahme die Besingung von zweiter Art erfüllt, meine Vermutung wäre aber eine sehr große "Ausnahme" und erscheint mir deshalb als falsch.
