Berechnen Sie den Kalkulationszinssatz (stetige Verzinsung, in Prozent), bei dem die Kapitalwerte…

Question

Aufgabe:

Ihnen stehen zwei einander ausschließende Projekte zur Verfügung, die nicht wiederholt werden können. Beide Projekte erfordern eine Anfangsauszahlung von 100,00. Projekt A liefert eine einzige Einzahlung von 65,00 in t=1. Projekt B liefert zwei Einzahlungen, eine in Höhe von 5,23 in t=1, und eine weitere in Höhe von 65,39 in t=2. Berechnen Sie den Kalkulationszinssatz (stetige Verzinsung, in Prozent), bei dem die Kapitalwerte beider Projekte identisch sind. Runden Sie das Endergebnis auf zwei Kommastellen und markieren Sie die korrekte Aussage.

Problem/Ansatz:

Meine Herangehensweise

KW1=KW2

59,77/x = 65,39/x2

59,77x2/x = 65,39

59,77x = 65,39

x = 1,0940

Was mache ich falsch?

Comments

WzT ist 59,77?

Und die Exponenten solltest Du hochstellen.

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WzT ist 59,77?

65,00 - 5,23 ...

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Das übliche: Meine Frage richtet sich an den Fragesteller. Es geht um seine Überlegung. Subtrahieren kann ich selber.

Answer 1

Die Gleichung hat der Mathecoach ja schon hingeschrieben.

Wenn man das nicht von einem Solver lösen lassen will, sondern selber verstehen will was man tut, dann geht das beispielsweise so:

$\begin{aligned} \overbrace{\underbrace{-100\vphantom{,}}_{\text{t=0}} +\vphantom{\bigg|} \underbrace{65\vphantom{,}·e^{-r}}_{\text{t=1}}}^{\text{Kapitalwert A}} &= \overbrace{\underbrace{-100\vphantom{,}}_{\text{t=0}} +\vphantom{\bigg|} \underbrace{5,23·e^{-r}}_{\text{t=1}} + \underbrace{65,39·e^{-2r}}_{\text{t=2}}}^{\text{Kapitalwert B}} \\\\ 65·e^{-r} &= 5,23·e^{-r} + 65,39·e^{-2r} \\\\ 59,77·e^{-r} &= 65,39·e^{-2r} \\\\ \frac{e^{-r}}{e^{-2r}} &= \frac{65,39}{59,77} \\\\ e^{r} &= \frac{65,39}{59,77} \\\\ r &= \ln\left(\frac{65,39}{59,77}\right) \approx 0,089865 \end{aligned}$

Answer 2

Stetige Verzinsung sagt, dass die Verzinsung zu jedem Augenblick stattfindet. Das wäre eine Modellierung über eine e-Funktion.

-100 + 65·e^-r = -100 + 5.23·e^-r + 65.39·e^-2r --> r ≈ 0.0899 = 8.99%

Answer 3

Deine Rechnung ist in Ordnung, allerdings hast du die kontinuierliche Verzinsung nicht berücksichtigt.

Das kannst du aber ganz leicht beheben, indem du $x=\mathrm{e}^y$ substituierst und nach $y$ auslöst. Damit erhältst du dann entsprechend deiner Rechnung auch die richtige Lösung, nämlich $y=\ln(x)$.