Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E1.

Question

Aufgabe: a) In Fig. 1 sind ein Ausschnitt der Ebene E₁ und der Punkt P dargestellt. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E₁.
b) Gegeben sind die Ebene
E₂: 2x + 3y - 4z= 12 und der Punkt
Q(5|8|-9). Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes F von Q auf E₂

Problem/Ansatz:

Die Punkte, die bei a) verwendet werden müssen, sind S₁ (3|0|0) , S₂ (0|3|0) , S₃ (0|0|4) und P(3|5|7).

Kann mir jemand helfen?

Answer 1

a) Wie lautet die Gleichung der Ebene E₁?

b) Wo schneidet k·\( \begin{pmatrix} 2\\3\\-4 \end{pmatrix} \)+ \( \begin{pmatrix} 5\\8\\-9 \end{pmatrix} \) =\( \vec{x} \)  die Ebene E₂?

Comments

E1:

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-3 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) \)

Text erkannt:

\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 7\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)

das hab ich als Gleichungen für die Ebene und für die gerade. Jetzt einfach gleichsetzen oder?

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Die Darstellung von E₁ ist keine Gleichung. Wie berechnet man den Lotvektor auf E₁?

Answer 2

Text erkannt:

Achsenabschnittsform
\( \begin{array}{l} E_{1}: \frac{x}{3}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1 \\ E_{1}: 4 x+4 y+3 z=12 \end{array} \)

Abstandsgleisung
\( d=\frac{4 x+4 y+3 z-12}{\sqrt{y^{2}+4^{2}+3^{2}}} \)

Punkt \( P \) einsetzen
\( \begin{aligned} d=\frac{4 \cdot 3+4 \cdot 5+3 \cdot 7-12}{\sqrt{4 \cdot 1}} & =\frac{41}{\sqrt{41}}=\sqrt{41} \\ & \approx 6,403 \mathrm{LE} \end{aligned} \)

Comments

Schau Mal ob P nicht die Koordinaten (4,5,7) hat?