Schnittwinkel zwischen Parabel und Ellipse ausrechnen?

Question

ich komme bei einer aufgabe nicht voran, vil kann mir jemand helfen

die aufgabe lautet:

gegen sind zwei Kegelschnitte ell.: 3x^2+4y^2=12 und par.: y^2=x

a) Wie groß ist der Schnittwinkel der beiden Kurven?

b) Das von den beiden Kegelschnitten und von der x-Achse begrenzte Flächenstück im ersten Quadranten rotiert um die x-Achse. Wie groß ist der Rauminhalt?

Answer 1

f = √ (3 - 3 * x² / 4 )
g = √ x

Schnittpunkt f = g
x = 1.4415

f ´( x ) = - 1.5 * x  / ( 2 * √ (3 - 3 * x² / 4 ) )
f ´( 1.4415 ) = -0.9
-0.9 entspricht -41.99 ° ( von der rechten x-Achse nach unten )
g ´( x ) = 1 / ( 2 * √ x )
g ´( 1.4415 ) = 0.4164
0.4164 entspricht 22.61 °
Schnittwinkel : 64.6 °

blaue Kurve ist f
rote Kurve ist g

f ( x ) = √ (3 - 3 * x² / 4 )
Fläche an der Stelle x
A ( x ) = f ( x )^2 * π
A ( x ) = ( 3 - 3 * x^2 / 4 ) * π
A ( x ) = 3 * π * ( 1 - x^2 / 4 )
Stammfunktion Volumen
v ( x ) =  3 * π  ∫ ( 1 - x^2 / 4 ) dx
v ( x ) =  3 * π  ( x - x^3 / 12 )
Volumen blau
V = 3 * π  [ x - x^3 / 12 ]_1.4415 ²
Stammfunktion zwischen 1.4415 bis 2

rote Kurve
g = √ x
Fläche an der Stelle x
A ( x ) = g( x )^2 * π
A ( x ) = x * π
Stammfunktion Volumen
v ( x ) =  π  ∫ x  dx
v ( x ) =  π  * x^2 / 2
Volumen rot
V = π  [ x^2 / 2  ] ₀ ^1.4415
Stammfunktion zwischen 0 bis 1.4415

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg



 

Answer 2

3·x^2 + 4·y^2 = 12
y = √(3 - 3·x^2/4)

y^2 = x
y = √x

Gleichsetzen um Schnittpunkt zu bestimmen

√(3 - 3·x^2/4) = √x
3 - 3·x^2/4 = x
x^2 + 4/3·x - 4 = 0
x = 2·√10/3 - 2/3 = 1.441518440

Schnittwinkel kann man jetzt über die Ableitungen bestimmen und das Volumen über ein Rotationsintegral.

Comments

wie mach ich das?

---

Was? Die Ableitungen bilden?

---

ich mein alles danach ich weiß zwar wie man die ableitung und so macht aber wie rechne ich den rest aus?

---

Dann bilde mal die Abeitungen zu beiden Funktionen und damit die Steigungen der Funktionen am Schnittpunkt. Seiten die Steigungen m1 und m2 kannst Du den Schnittwinkel über

α = arctan(m1) - arctan(m2)

berechnen.

---

ich verstehe nicht ganz wie das funktioniert

was sind die ableitungen von y^2=x und 3·x2 + 4·y2 = 12?

---

Entweder bildest du die implizite Ableitung oder aber du benutzt die explizite Form die ich dir netterweise oben notiert habe.

---

was ist arctan ?

---

Die Umkehrfunktion vom Tangens. Auf dem Taschenrechner auch tan^-1.

Answer 3

Ich habe die Ellipsengleichung geändert, um "krumme" Zahlen zu vermeiden

ell.: \(4x^2+5y^2=9\) und par.: \(y^2=x\)

a) Wie groß ist der Schnittwinkel der beiden Kurven?

Schnittstellen:

\(4x^2+5x=9\)

\(x_1=\red{1}\)     \(y^2=1\)      \(y_1=\blue{1}\)     \(y_2=-1\)

\(x_2=-\frac{9}{4}\)   y- Wert liegt nicht in ℝ

Weg über das implizite Ableiten:

\(e(x,y)=4x^2+5y^2-9\)

\(e_x(x,y)=8x\)

\(e_y(x,y)=10y\)

\(e'(x)=-\frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{8x}{10y}=-\frac{4x}{5y}\)

\(e'(\red{1})=-\frac{4\cdot\red{1}}{5\cdot \blue{1}}=-\frac{4}{5}\)

\(m_e=-\frac{4}{5}\)

\(p(x,y)=-x+y^2\)

\(p_x(x,y)=-1\)

\(p_y(x,y)=2y\)

\(p'(x)=-\frac{-1}{2y}=\frac{1}{2y}\)

\(p'(\red{1})=\frac{\red{1}}{2\cdot \blue{1}}=\frac{1}{2}\)

\(m_p=\frac{1}{2}\)

Winkelberechnung:

\(tan(α)=| \frac{m_p-m_e}{1+m_p \cdot m_e}| \)

\(tan(α)=| \frac{\frac{1}{2}+\frac{4}{5}}{1+\frac{1}{2} \cdot (-\frac{4}{5})}|=\frac{13}{6} \)

\( tan^{-1}(\frac{13}{6}) =65,22°\)