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ich komme bei einer aufgabe nicht voran, vil kann mir jemand helfen

die aufgabe lautet:

gegen sind zwei Kegelschnitte ell.: 3x^2+4y^2=12 und par.: y^2=x

a) Wie groß ist der Schnittwinkel der beiden Kurven?

b) Das von den beiden Kegelschnitten und von der x-Achse begrenzte Flächenstück im ersten Quadranten rotiert um die x-Achse. Wie groß ist der Rauminhalt?

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f = √ (3 - 3 * x2 / 4 )
g = √ x

Schnittpunkt f = g
x = 1.4415

f ´( x ) = - 1.5 * x  / ( 2 * √ (3 - 3 * x2 / 4 ) )
f ´( 1.4415 ) = -0.9
-0.9 entspricht -41.99 ° ( von der rechten x-Achse nach unten )
g ´( x ) = 1 / ( 2 * √ x )
g ´( 1.4415 ) = 0.4164
0.4164 entspricht 22.61 °
Schnittwinkel : 64.6 °

blaue Kurve ist f
rote Kurve ist g

f ( x ) = √ (3 - 3 * x2 / 4 )
Fläche an der Stelle x
A ( x ) = f ( x )^2 * π
A ( x ) = ( 3 - 3 * x^2 / 4 ) * π
A ( x ) = 3 * π * ( 1 - x^2 / 4 )
Stammfunktion Volumen
v ( x ) =  3 * π  ∫ ( 1 - x^2 / 4 ) dx
v ( x ) =  3 * π  ( x - x^3 / 12 )
Volumen blau
V = 3 * π  [ x - x^3 / 12 ]1.4415 2
Stammfunktion zwischen 1.4415 bis 2

rote Kurve
g = √ x
Fläche an der Stelle x
A ( x ) = g( x )^2 * π
A ( x ) = x * π
Stammfunktion Volumen
v ( x ) =  π  ∫ x  dx
v ( x ) =  π  * x^2 / 2
Volumen rot
V = π  [ x^2 / 2  ] 0 1.4415
Stammfunktion zwischen 0 bis 1.4415

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mfg Georg



 

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3·x^2 + 4·y^2 = 12
y = √(3 - 3·x^2/4)

y^2 = x
y = √x

Gleichsetzen um Schnittpunkt zu bestimmen

√(3 - 3·x^2/4) = √x
3 - 3·x^2/4 = x
x^2 + 4/3·x - 4 = 0
x = 2·√10/3 - 2/3 = 1.441518440

Schnittwinkel kann man jetzt über die Ableitungen bestimmen und das Volumen über ein Rotationsintegral.
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wie mach ich das?
Was? Die Ableitungen bilden?
ich mein alles danach ich weiß zwar wie man die ableitung und so macht aber wie rechne ich den rest aus?
Dann bilde mal die Abeitungen zu beiden Funktionen und damit die Steigungen der Funktionen am Schnittpunkt. Seiten die Steigungen m1 und m2 kannst Du den Schnittwinkel über

α = arctan(m1) - arctan(m2)

berechnen.
ich verstehe nicht ganz wie das funktioniert

was sind die ableitungen von y^2=x und 3·x2 + 4·y2 = 12?
Entweder bildest du die implizite Ableitung oder aber du benutzt die explizite Form die ich dir netterweise oben notiert habe.
was ist arctan ?
Die Umkehrfunktion vom Tangens. Auf dem Taschenrechner auch tan^-1.
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Ich habe die Ellipsengleichung geändert, um "krumme" Zahlen zu vermeiden

ell.: \(4x^2+5y^2=9\) und par.: \(y^2=x\)

a) Wie groß ist der Schnittwinkel der beiden Kurven?

Schnittstellen:

\(4x^2+5x=9\)

\(x_1=\red{1}\)     \(y^2=1\)      \(y_1=\blue{1}\)     \(y_2=-1\)

\(x_2=-\frac{9}{4}\)   y- Wert liegt nicht in ℝ

Weg über das implizite Ableiten:

\(e(x,y)=4x^2+5y^2-9\)

\(e_x(x,y)=8x\)

\(e_y(x,y)=10y\)

\(e'(x)=-\frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{8x}{10y}=-\frac{4x}{5y}\)

\(e'(\red{1})=-\frac{4\cdot\red{1}}{5\cdot \blue{1}}=-\frac{4}{5}\)

\(m_e=-\frac{4}{5}\)

\(p(x,y)=-x+y^2\)

\(p_x(x,y)=-1\)

\(p_y(x,y)=2y\)

\(p'(x)=-\frac{-1}{2y}=\frac{1}{2y}\)

\(p'(\red{1})=\frac{\red{1}}{2\cdot \blue{1}}=\frac{1}{2}\)

\(m_p=\frac{1}{2}\)

Winkelberechnung:

\(tan(α)=| \frac{m_p-m_e}{1+m_p \cdot m_e}| \)

\(tan(α)=| \frac{\frac{1}{2}+\frac{4}{5}}{1+\frac{1}{2} \cdot (-\frac{4}{5})}|=\frac{13}{6} \)

\( tan^{-1}(\frac{13}{6}) =65,22°\)

Unbenannt.JPG

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