Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen

Question

Wie untersuche ich die Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz?

a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}) \)

b) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\sum \limits_{i=1}^{k} \frac{1}{i}\right)^{-1} \)

c) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n\left(\frac{7}{10}+\frac{1}{n}\right)^{n} \)

Answer 1

a) Für alle \(n>0\) gilt$$\begin{array}{crcl}&4n^2-4n+1&>&4n^2-4n\\\Leftrightarrow&2n-1&>&2\sqrt{n^2-n}\\\Leftrightarrow&2n-2\sqrt{n^2-n}&>&1\\\Leftrightarrow&\left(n+\sqrt n\right)-2\sqrt{\left(n+\sqrt n\right)\left(n-\sqrt n\right)}+\left(n-\sqrt n\right)&>&1\\\Leftrightarrow&\left(\sqrt{n+\sqrt n}-\sqrt{n-\sqrt n}\right)^2&>&1\end{array}$$Daraus folgt Divergenz.

b) Für alle \(k>0\) gilt \(0<\frac1k\leq 1\). Für alle \(n>0\) gilt daher \(0<\sum\limits_{k=1}^n\frac1k\leq n\). Schließe daraus, dass die Harmonische Reihe Minorante ist und daraus Divergenz.

c) Die Summe sollte bei \(n=1\) beginnen. Für alle \(n>3\) gilt \(0<\frac7{10}+\frac1n\leq\frac{19}{20}<1\). Nach dem Majorantenkriterium folgt daraus Konvergenz.