Iz+iI² = 2 Im (z) +5

Question

Kann mir vielleicht jemand Helfen, ich verzweifle langsam. Schön wären allerdings die einzelnen Rechenschritte und die Rechnung nachzuvollziehen zu können.

Gegeben ist die Ausgangsgleichung:

Iz+iI² = 2 Im (z) +5

Gesucht ist das Ergebnis in der Form:

z=x+yi

Answer 1

|z + i|^2 = 2·IM(z) + 5

z = x + y·i

|x + y·i + i|^2 = 2·IM(x + y·i) + 5

|x + (y + 1)·i|^2 = 2·y + 5

x^2 + (y + 1)^2 = 2·y + 5

x^2 + y^2 + 2·y + 1 = 2·y + 5

x^2 + y^2 = 4

y = ± √(4 - x^2)

mit 4 - x^2 ≥ 0 bzw. -2 ≤ x ≤ 2

z = x ± √(4 - x^2)·i

Wie sigma gesagt hat entspricht das einem Kreis in der komplexen Zahlenebene.

Answer 2

$$ \begin{aligned}  Abs[(x+i y)+i]^2&=2Im(x+iy)+5\\ \left(\sqrt{x^2+(y+1)^2}\right)^2&=2y+5\\x^2+y^2+2y+1&=2y+5&&\|-2y\|-1\\x^2+y^2&=4
\end{aligned}$$
Das entspricht in der komplexen Zahlenebene einem Kreis mit dem Mittelpunkt (0,0) und Radius 2