Zeichnen einer Zahlenmenge in der komplexen Zahlenebene: |z+3i-4| / |z+6| ≤ 1

Question

Aufgabe:

Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der komplexen Zahlenebene.

(i) $$ \mathcal{M}=\left\{z \in \mathbb{C} : \left|\dfrac{z+3 i-4}{z+6}\right| \leq 1, \; z \neq-6\right\}$$

Problem/Ansatz:

|z+3i-4| / |z+6| ≤ 1

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich muss vorliegende komplexe Zahlenmenge darstellen. Jedoch stoße ich bei der Aufgabe an alle Grenzen.

Man kann die Betragsregeln für relle Zahlen nicht verwenden und durch das Umformen komme ich auch nicht weiter. Mein Ansatz ist nun, dass es sich hier im um einen Kreis handelt, welcher den Radius 1 besitzt und alles, was sich im Kreis befindet und auf dem Rand des Kreises, Menge des Betrags der komplexen Zahl ist.

Ist dieser Ansatz falsch oder kann man diesen nachgehen?

Comments

@Überschrift und deinen Text:

  Ich muss vorliegende komplexe Zahl darstellen.

Du sollst nicht nur eine komplexe Zahl zeichnen sondern eine Menge von komplexen Zahlen. Das tut man in der komplexen Zahlenebene. Habe das nun oben korrigiert.

Answer 1

Rechenregeln für Beträge ergeben

|z+3i-4| / |z+6| ≤ 1           | * Nenner

|z+3i-4| ≤ |z+6|           | Betrag einer Differenz bedeutet "Abstand" in der komplexen Zahlenebene

|z- (4-3i)| ≤ |z- (-6) |           |

1. Zeichne (wenn du nachgerechnet und nötigenfall korrigiert hast) a = 4 - 3i und b = -6 in der komplexen Zahlenebene ein. 

2. Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke ab

Das ist die Lösungsmenge von |z- (4-3i)| = |z- (-6) |

3. Schraffiere nun alles was näher bei (4-3i) als bei -6 liegt.

Das ist die Lösungsmenge von |z- (4-3i)| < |z- (-6) |

4. Wenn du 2 und 3 mit der gleichen Farbe markierst, hast du die Lösungsmenge von |z- (4-3i)| ≤ |z- (-6) |  und damit auch von |z+3i-4| / |z+6| ≤ 1 in der komplexen Zahlenebene eingezeichnet.

fertig.

Hinweis: Falls einmal |z+3i-4| / |z+6 | ≥ 1 verlangt ist, musst du bei z= -6 explizit ein Loch in der Lösungsmenge markieren. 

Comments

Schade um die aufwendige Schreibarbeit, aber du hilfst auch anderen...

;-)

Du hast es noch etwas detaillierter erklärt als ich. Pluspunkt!

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Hi,

Wie bist du vorgegangen als du |z+3i-4| ≤ |z+6|   mit |z- (4-3i)| ≤ |z- (-6) datgestellt hast, hätte man das nicht stehen lassen können?

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Der Abstand zwischen zwei Zahlen ist ihre Differenz. Deshalb haben wir die Summe in eine Differenz umgeschrieben, um die Summe als Abstand zu interpretieren.

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Wieso wurde hier eigentlich die Mittelsenkrechte verwendet?

Hat das einen ganz spezifischen Grund. Denn ich komme gerade nicht dahinter

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Wieso wurde hier eigentlich die Mittelsenkrechte verwendet?

aus Deiner Frage könnte man schließen, dass Du keine Zeichnung gemacht hast, oder sie Dir zumindest nicht angeschaut hast ...

Hier die Zeichnung:

Eine Zahl (ein Punkt) \(Z\) auf der Mittelsenkrechten (blau) zur Strecke \(AB\) hat von beiden Punkten \(A\) und \(B\) immer den gleichen Abstand. Ich habe den Abstand zu \(A\) grün und den zu \(B\) rot eingezeichnet. D.h. die Mittelsenkrechte zu \(AB\) ist die Menge aller Punkte, die von beiden Punkten den gleichen Abstand haben. Für jeden Punkt \(Z\) auf der Mittelsenkrechten gilt \(|z-a| = |z-b|\).

Liegt ein Punkt \(Z_2\) näher an \(A\) als an \(B\), also im Bild rechts von der Mittelsenkrechten, dann ist \(|z-a| \lt |z-b| \). Siehe auch diese Antwort.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelsenkrechte#Definition

Hier die Definition von "Mittelsenkrechte" als Punktmenge. Danke Werner für Zeichnung und Link.

Antwort auf https://www.mathelounge.de/670424/zeichnen-einer-zahlenmenge-in-der-komplexen-zahlenebene-3i?show=670450#c670450 schon gelesen?

Answer 2

Ganz andere Herangehensweise:

|\( \frac{a}{b} |=\frac{|a|}{|b|} \).

Aus |\( \frac{a}{b} |\le 1 \) folgt \( \frac{|a|}{|b|}\le 1 \) bzw. |a|≤|b|.

Deine Ungleichung bedeutet somit:

"Der Abstand von z zur Zahl (4-3i) ist kleiner oder gleich dem Abstand von z zur Zahl (-6)".

Die Menge somit besteht aus der Mittelsenkrechten der Verbindungsstrecke zwischen (4-3i) und (-6) und allen komplexen Zahlen auf derjenigen durch diese Gerade abgegrenzte Halbebene, die die Zahl (4-3i) enthält.

Comments

Gelten diese Betragsregel auch für komplexe Zahlen oder nur für reelle Zahlen?

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Wenn du weißt, wie man komplexe Zahlen in trigonometrischer Form dividiert (Argumente subtrahieren und Beträge dividieren), hast du die zustimmende Antwort.

Answer 3

Tipp: Setze z=x+yi

Im Nenner steht dann x+yi+6 bzw. (x+6)+yi.

Erweitere den Bruch mit (x+6)-yi, damit der Nenner reell wird.

Zwischen den Betragsstrichen steht nach dem Ausmultiplizieren und Sortieren eine komplexe Zahl der Form a+ib, deren Betrag du bestimmen musst.

Comments

Wie kommst du auf den Zwischenschritt,dass x+Yi+6 gleich (x+6)+1i ist?

Ich kann das nicht ganz nachvollziehen.

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Ich auch nicht.   :-)

War ein Tippfehler.

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Ich habe deinen Ansatz schon versucht, jedoch gibt es keine Möglichkeit das der Nenner reell wird, da im Nenner dann steht (x+6)^2+y^2. Anschließend wird dann die erste binomische Formel für (x+6)^2 angewandt und spätestens dann ist der Nenner nicht mehr reell.

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x und y sind reelle Zahlen. Damit ist der Term (x+6)²+y² brutalstmöglich reell.

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Ok. Du hast Recht. Aber man schafft es trotzdem nicht diesen Term raus zu kürzen.

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Mein Weg erscheint mir jetzt auch zu umständlich. Zum Glück sind die anderen Antworten einfacher.