Schnittmenge in komplexer Zahlenebene zeichnen und z^5 + z^3 = (z^2+1)16i lösen?

Question

ich bin gerade dabei folgende Aufgabe einer Altklausur zu lösen und bräuchte eure Hilfe.

Answer 1

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2. Teil:

Answer 2

b)  z⁵ + z³ = (z² + 1 ) * 16i

<==> z³ * (z² + 1 ) = (z² + 1 ) * 16i

<==> ( z³  - 16i ) * (z² + 1 ) = 0

<==>  z³  - 16i =0    oder   z² + 1 = 0

also z=i oder z= -i oder z ist eine der 3. Wurzeln von 16i

Die haben alle den Betrag 16^1/3   = 2 *2^1/3

Winkel 90° hat, hat die erste 3. Wurzel den Winkel 30°, also

z1 =  2 *2^1/3  * ( cos(30°) + i* sin(30°) )

zu a): Das 1. ist das Innere des Kreises um (0;-1) mit Radius 1.

Das wird geschnitten mit dem Kreisring um (1;1) mit innerem

Radius 1 und äußerem Radius 2.

    =   2 *2^1/3 * ( √3  / 2  + i * 1/2  )

=   2^1/3 * ( √3   + i  )

=   2^1/3 *√3    +    2^1/3

und die zweite, da muss den Winkel 90°+360° dritteln, gibt 150° also

z2 =  2 *2^1/3  * ( cos(150°) + i* sin(150°) )     etc.