Geben Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag der Zahl z=(-13-9i)/(5+15i) explizit an

Question

z=(-13-9i)/(5+15i)

Wie rechnet man bei solche Aufgaben den Betrag aus?

Comments

Am Ende kommt: z=1-0,75i ?
Also RE(1), Im(0,75)? Habe ich alles richtig gerechet?

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Was genau ist Zähler und Nenner des Bruchs? Ist das wirklich 9i und 5 oder doch (-13-9i) als Zähler und (5+15i) als Nenner?

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-13-9i - der Zähler
5+15i - der Nenner

Answer 1

z = ( - 13 - 9 i ) / ( 5 + 15 i )

Erweitern mit dem konjugiert Komplexen des Nenners, also mit 5 - 15 i. Dadurch wird der Nenner reellwertig:

= ( - 13 - 9 i ) * ( 5 - 15 i ) / ( ( 5 + 15 i ) * ( 5 - 15 i ) )

= ( - 65 + 195 i - 45 i - 135 ) / ( 25 + 225 )

= ( - 200 + 150 i ) / 250

= ( - 4 / 5 ) + ( 3 / 5 ) i


| z | = | ( - 4 / 5 ) + ( 3 / 5 ) i |

= √ ( ( - 4 / 5 ) ² + ( 3 / 5 ) ² )

= √ ( ( 16 / 25 ) + ( 9 / 25 ) )

= √ ( 25 / 25 )

= 1

Comments

( 25 + 225 i²) = ( 25  - 225 ) = 200, oder?

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Nein, wegen (drittte binomische Formel)

( a + b ) * ( a - b ) = a ² - b ²

gilt mit a = 5 und b = 15 i

( 5 + 15 i ) * ( 5 - 15 i )

= 25 - ( 15 i ) ²

= 25 - 15 ² * i ²

= 25 - 225 * ( - 1 )

= 25 + 225

= 250

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oh ja, jetzt verstehe. Dankeschön.