Vektorraum, Folge, Axiome, lineare Algebra

Question

Sei V die Menge der Folgen = (α₁,α₂,α₃, . . . ), sodass das Glied α_n in ℝ ist für alle n∈ℕ und sodass
nur endlich viele Glieder nicht-null sind. Z.B. die Folge (1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0, . . . ), wobei nur die ersten
fünf Glieder nicht-null sind, gehört zu V, aber die Folge (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 . . . ) gehört nicht zu V, da
unendlich viele Glieder gleich 1 sind.
Seien λ∈ℝ und α∈V, die Folge λ·α wird so definiert: (λ·α )_n := λ·α_n für alle n∈N. Seien
zwei Folgen , α,β∈V, die Folge α+β wird so definiert: (α +β )_n := α_n +β_n für alle n∈ℕ. Z.B.
11 · (1, 2, 3, 0, 0, 0, 0, 0, . . . )+(7, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, . . . ) = (18, 22, 33, 0, 5, 0, 0, 0, . . . ).
(a) Zeigen Sie, dass die Menge V dank der Verknüpfungen + und · ein Vektorraum ist, d.h. dass die
Axiome S1 bis S4 erfüllt sind.
(b) Was ist der Nullvektor?
(c) Sei V' die Menge der Folgen (auch mit realen Gliedern), sodass nur endlich viele Glieder null sind.
Ist auch V' durch die selben Verknüpfungen + und · ein Vektorraum? (Begründen Sie Ihre Antwort.)