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Ich habe hier einen Vektorraum gegeben:

\( U:=\left\langle\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\right\rangle \)

Was kann man mit einem Vektorraum alles machen. Also in U sind ja zwei Vektoren aus dem R^3. Das verstehe ich soweit. Was heißt das genau? Also was sagen mit die zwei Vektoren aus dem R^3 in dem Vektorraum U?


(Bitte einfach erklären :D)

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Hallo :-)

Also in U sind ja zwei Vektoren.

Nein. \(U\) besteht hier aus allen Vektoren, die sich als Linearkombination durch die beiden Vektoren \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \) erzeugen lassen.

Anders ausgedrückt: \(U\) ist die Menge aller Linearkombinationen über die Vektoren \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \).

Ich kann also damit zb solche Vektoren basteln:

\(2\cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)-7\cdot \left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-12\\-14\\2\end{array}\right) \)

\(3.3\cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+1.2\cdot \left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}5.7\\2.4\\3.3\end{array}\right) \)

Man kann \(U\) also auch so beschreiben:

$$ U=\Bigg\{\left(\begin{array}{l}x\\y\\z\end{array}\right)\in \R^3:\quad \underbrace{\exists \alpha,\beta\in \R:\quad \left(\begin{array}{l}x\\y\\z\end{array}\right)=\alpha\cdot \left(\begin{array}{l}1\\0\\1\end{array}\right)+\beta\cdot \left(\begin{array}{l}2\\2\\0\end{array}\right)}_{,,\left(\begin{array}{l}x\\y\\z\end{array}\right) \text{ ist Linearkombination über }\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)''}\Bigg\}=:\text{span}\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\right)=:\text{Lin}\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\right) $$

Solch eine Menge wird auch gerne als Lineare Hülle (kurz \(\text{Lin}(.)\)) von \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \) oder als Span (kurz \(\text{span}(.)\)) von \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \) bezeichnet.

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Hab alles verstanden danke dir hallo97! :)

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