Hallo :-)
Also in U sind ja zwei Vektoren.
Nein. \(U\) besteht hier aus allen Vektoren, die sich als Linearkombination durch die beiden Vektoren \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \) erzeugen lassen.
Anders ausgedrückt: \(U\) ist die Menge aller Linearkombinationen über die Vektoren \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \).
Ich kann also damit zb solche Vektoren basteln:
\(2\cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)-7\cdot \left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-12\\-14\\2\end{array}\right) \)
\(3.3\cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+1.2\cdot \left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}5.7\\2.4\\3.3\end{array}\right) \)
Man kann \(U\) also auch so beschreiben:
$$ U=\Bigg\{\left(\begin{array}{l}x\\y\\z\end{array}\right)\in \R^3:\quad \underbrace{\exists \alpha,\beta\in \R:\quad \left(\begin{array}{l}x\\y\\z\end{array}\right)=\alpha\cdot \left(\begin{array}{l}1\\0\\1\end{array}\right)+\beta\cdot \left(\begin{array}{l}2\\2\\0\end{array}\right)}_{,,\left(\begin{array}{l}x\\y\\z\end{array}\right) \text{ ist Linearkombination über }\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)''}\Bigg\}=:\text{span}\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\right)=:\text{Lin}\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)\right) $$
Solch eine Menge wird auch gerne als Lineare Hülle (kurz \(\text{Lin}(.)\)) von \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \) oder als Span (kurz \(\text{span}(.)\)) von \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \) bezeichnet.
