Ungleichung beweisen: 0 ≤ (a-b)²

Question

Ich würde hier echt nicht fragen wenn ich verzweifeln würde.

Es geht darum, die Ungleichung

0 ≤ (a-b)² zu beweisen

Hierbei gilt: 

a ≤ b
&
a,b > 0

Was bei mir passiert:

0      ≤ (a-b)² | Binomi
0      ≤ a² - 2ab + b² | + 2ab
2ab ≤  a² + b² | : ab
2      ≤ a/b + b/a

Hierbei wäre 
a/b ≤ 1 & 1 ≤ b/a

Mehr krieg ich irgendwie nicht hin...

Answer 1

Hi,

Du bist hier schon direkt fertig. Du hast ein Quadrat, weswegen Du rechts immer ≥0 bist. Die Ungleichung ist folglich war.

Grüße

Comments

Jetzt echt? :D

Und ich war am verzweifeln weil ich ganz am Ende so etwas wie 0 ≤ a und 0 ≤ b raushaben wollte

Danke !!!

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Jetzt nur um sicher zu gehen:

Ich habe diesmal die Ungleichung

a² ≤ ((2ab)/(a+b))²

Damit es nicht so knautschig aussieht löse ich mal die Klammern auf:

a² ≤ 4a²b² / (a+b)²

Ich habe versucht aus der Ungleichung eine Ungleichung mit 0 zu machen indem ich das a² rübergeholt habe:

a²(a+b)² / (a+b)² ≤ 4a²b² / (a+b)²

Jetzt habe ich auf beiden Seiten den gleichen Nenner. Links wird jetzt subtrahiert:

0 ≤ (4a²b² - a²(a+b)²) / (a+b)²

Und da ich auf der rechten Seite einen Bruch habe und Brüche nie gleich Null sein können wäre die Ungleichung bewiesen.

Wäre das richtig?

Sorry für solche komischen Fragen aber ich lerne schon den ganzen Tag und mein Gehirn will nicht mehr...

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Und da ich auf der rechten Seite einen Bruch habe und Brüche nie gleich Null sein können wäre die Ungleichung bewiesen.

Das ist natürlich Unsinn^^. Warum sollte ein Bruch nicht 0 werden dürfen? Abgesehen davon, selbst das wäre egal. Sobald die rechte Seite kleiner ist als die linke, ists schlecht.

 

Ich muss aber grad passen. Sehe gerade nicht, wie man da gut rangeht. Stelle das nochmals als eigenständige Frage, damit noch jemand anderes drüber schaut :).

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ACH!!!

Ich habe vergessen zu erwähnen, dass hier die gleichen Bedingungen gelten!!!

Also immer noch a ≤ b und a,b > 0.

Deswegen meinte ich, dass der Bruch nicht kleiner bzw. gleich 0 ergeben kann.

Ich will nur noch ins Bett....

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Ah ok, dann kann ich es auch zeigen. Moment ;).

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Hätte es zwar anders gemacht, aber nehmen wir mal Deins. Ist soweit richtig.

0 ≤ (4a²b² - a²(a+b)²) / (a+b)²

Abschätzung, dass a+b≤2b ist. Denn es ist ja, wie Du nachgereicht hast, a≤b.

0 ≤ (4a²b² - a²(2b)²) / (a+b)² = (4a²b² - 4a²b²) / (a+b)² = 0


Das heißt, wegen unserer Abschätzung 2b≥a+b ist das obige entweder tatsächlich 0, oder aber eben größer. Keinesfalls kleiner.


Schöner vielleicht so:

a² ≤ ((2ab)/(a+b))²   |*(a+b)²

a²(a+b)² ≤ 4a²b²       |:a², wobei a≠0

a²+2ab+b² ≤ 4b²      |Gleiche Abschätzung wie zuvor: 2ab≤2b²

a²+2b²+b² ≤ 4b²       |-3b²

a² ≤ b²

Das ist offensichtlich wahr.

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Ich feiere dich so stark!

Auf die Abschätzung a+b ≤ b+b wäre ich nicht gekommen obwohl das SO megasimpel ist!

Ich bedanke mich wirklich, dass du dir Zeit hierfür genommen hast!

Weiß ich WIRKLICH zu schätzen!

Schöne Feiertage noch!

Grüße ! :)

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Kein Problem. Gerne


Und gleichfalls :).