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Aufgabe:

Es sei \( \Omega=] 0,1\left[\right. \) das offene Einheitsintervall. Für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) sei \( A_{n}:=\left[\frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^{n}}[\right. \). Des weiteren definieren wir \( \mathcal{E}:=\left\{A_{n} \mid n \in \mathrm{N}_{0}\right\} \)

(a) Zeigen Sie, dass \( \sigma(\mathcal{E})=\left\{\bigcup_{n \in I} A_{n} \mid I \subseteq \mathbb{N}_{0}\right\} \).

(b) Welche der folgenden Mengen sind Elemente von \( \sigma(\mathcal{E}) \) ? (Keine schriftliche Begründung nötig.) \( A:=\{1 / 2\}, \quad B:=[1 / 4,1[, \quad C:=[1 / 3,2 / 3[, \quad D:= ] 0,1 / 2[ \).


Nachtrag Definition:

1.2.10 Satz

Desweiteren ist \( \sigma(\mathcal{E}) \) die kleinste \( \sigma \) -Algebra auf \( \Omega \), die \( \varepsilon \) enthält.
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1.2.11 Definition (Borel-\( \sigma \)-Algebra)

Sei \( (\Omega, \mathcal{O}) \) ein topologischer Raum. Das bedeutet, dass \( O \subseteq \mathcal{P}(\Omega) \) abgeschlossen bezüglich beliebiger Vereinigungen und endlichen Durchschnitten ist. Die Elemente von \( O \) heißen offen. Dann definieren wir die Borel-\( \sigma \)-Algebra auf \( (\Omega, \mathcal{O}) \) durch

\( B(\Omega):=\mathcal{B}((\Omega, O)):=\sigma(O) \)


1.2.12 Satz

Sei \( O \) die von \( (a, b) \subseteq 0,1] \) erzeugte Topologie auf \( [0,1] \). Dann existiert genau ein \( W-M \) \( P \) auf \( (0,1), \sigma(\mathcal{O}))=(\Omega, \mathcal{F}) \) mit \( (1.2) \). Dieses erfüllt auch \( (1.3) \). Dieses Maß nennen wir Lebesgue-Maß auf [0, 1], uniforme Verteilung auf [0, 1] oder Gleichverteilung auf [0, 1].

Beweis:

Um diesen Satz zu beweisen, müssen wir die Existenz und die Eindeutigkeit nachweisen.

(1) Die Existenz wird in Analysis 3 bewiesen.

(2) Die Bindeutigkeit folgt aus dem Maffeindeutigkeitssatz (1.2.13).

Damit haben wir die Behauptungen des Satzes bewiesen.

Avatar von
Wie ist denn σ ( x ) definiert?
Ich habe ja auch nicht mehr Informationen als diesen ausschnitt und so wie ich das verstehe ist das eine funktion nach epsilon und das wurde ja oben definiert oder nicht?
Man soll ja aber beweisen, dass dieses sigma eine Art Potenzmenge von € ist. Vereinigungen von (beliebig vielen) An.

Da kann man doch nicht einfach sagen, dass sigma so definiert ist.
Hier mal die Antwort für (b)

Die An sind der Reihe nach

Ao= [1/2, 1[

A1 = [1/4, 1/2[

A2 = [1/8 , 1/4[

A3 = [1/16, 1/8 [

B = A0 u A1 ist in sigma

D ist die Vereinigung über I = N \ {0} und daher auch in sigma.

Die andern gehören nicht zu sigma.
Danke erstmals für die b) ich weiß nicht so recht wie man an die a) ran gehen soll
Wie JotEs schon gesagt hat, ist da ohne eine Definition von sigma nichts zu machen. Wenn das im Skript nicht vorkommt, musst du zurückfragen oder diesen Teil weglassen.

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