l'Hospital nicht anwendbar

Question

Beispiel:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin (x)^{2} \cdot \cos (1 / x)}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) \operatorname{cos}(1 / x)+\sin ^{2}(x) \sin \left(\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x^2}}{1} \)

Warum ist die Regel von l'Hospital nicht anwendbar? Weil 1/0 nicht existiert?

Comments

Wer sagt, dass l'Hospital nicht anwendbar ist? führt vielleicht nicht zum Ziel.

Beim 2. Bruch hast du derzeit im Nenner 1. Somit kannst du dort so Hospital nicht nochmals einsetzen.

Answer 1

Man hat$$\left|\frac{\sin(x)^2\cos(1/x)}{x}\right|\leq\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\cdot\left|\sin(x)\right|\cdot 1\rightarrow 1\cdot 0=0$$für \(x\rightarrow 0\),

also ist der gesuchte Limes \(=0\).

Gruß ermanus

Comments

Wie kommt man auf diese Ungleichung, ermane magne?

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Es gilt

|cos(was auch immer)|≤1.

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Salve, o supporter!
abakus hat es bereits gesagt:
Da der Limes \(\cos(1/x)\) für \(x\rightarrow 0\) nicht existiert, kann man
nur die Beschränktheit von \(cos\) nutzen und das funktioniert nur dann,
wenn die übrigen "Versatzstücke" des Ausdrucks als Ganzes gegen 0 streben.
\(\sin(x)/x\)  strebt gegen 1, daher sind wir "überglücklich", doch noch
im verbleibenden \(\sin(x)\) ein Teil gefunden zu haben, das gegen 0 geht.

Answer 2

lim x -> 0(+) [1/x ] = ∞

[ cos ( ∞) ] = nicht definiert, es gibt keine
Stelle auf dem Zahlenstrahl

Comments

Ich korrigiere
[ sin (x)^2 * cos ( 1/x) ] / x
cos ( 1/x) kann Werte zwischen -1..+1 annehmen

sin (x)^2 / x * ( -1..+1)

l´Hospital
[ 2 * sin(x) * cos(x) ] / 1
lim x -> 0+ [ 2 * sin(x) * cos(x) ]
2 * 0 * 1 = 0

Insgesamt ein typischer Fall fürs Nullprodukt