Aloha :)
Wende L'Hospital zwei Mal nacheinander an:$$\frac{3n^2+n+1}{4(\sin n+n^2)}\to\frac{6n+1}{4(\cos n+2n)}\to\frac{6}{4(-\sin n+2)}$$Weiter geht es mit L'Hospital nicht. Der Zähler hat den Grenzwert \(6\), der Nenner hat keinen Grenzwert, weil \(\sin n\) für \(n\to\infty\) nicht konvergiert.
Trotzdem konvergiert die Folge:$$-1\le\sin n\le1\implies$$$$n^2-1\le n^2+\sin n\le n^2+1\implies$$$$\frac{1}{n^2+1}\le\frac{1}{n^2+\sin n}\le\frac{1}{n^2-1}\implies$$$$\frac{1}{4n^2+4}\le\frac{1}{4(n^2+\sin n)}\le\frac{1}{4n^2-4}\implies$$$$\frac{3n^2+n+1}{4n^2+4}\le\frac{3n^2+n+1}{4(n^2+\sin n)}\le\frac{3n^2+n+1}{4n^2-4}\implies$$$$\frac{3+\frac1n+\frac1{n^2}}{4+\frac4{n^2}}\le\frac{3n^2+n+1}{4(n^2+\sin n)}\le\frac{3+\frac3n+\frac1{n^2}}{4-\frac4{n^2}}$$
Die linke und die rechte Grenze konvergieren beide für \(n\to\infty\) gegen \(\frac34\).
Also konvergiert die Folge gegen \(\frac34\).
