Wie kriege ich das mit der Regel von de l'Hospital hin?

Question

Gesucht ist der Grenzwert von sqrt(x^2+x)-x für x gegen + Unendlich.

Ich habe die Aufgabe schon in sqrt(x^2+x)-x = x/(sqrt(x^2+x)+x) umgewandelt, damit ich die Regeln anwenden kann, aber das scheint nichts zu bringen.

Answer 1

Hallo.

Es geht ohne L'Hospital.

Du multiplizierst Zähler und Nenner mit √(x^2+x)+x

- Klammere im Nenner x^2 aus

Der Nenner lautet dann: √(x^2(1+1/x)) +x

-Ziehe dann von 2 die Wurzel

- Klammere im Nenner x aus und kürze x

= 1/ (√(1+1/x)+1)

Lösung:1/2

Comments

Hat der Gast das nicht schon gemacht?

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Wenn du deine ursprünglichen Antworten nachträglich ergänzt, solltest du das auch entsprechend kennzeichnen.

Answer 2

du hast die Umformung schon richtig gemacht:

$$ \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+x}-x=\lim_{x \to \infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+x}}{x}+\frac{x}{x}}\\=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}}+1}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}. $$

Comments

Vielen Dank, genau das habe ich gesucht...auf die Idee, mit 1/x zu erweitern kommt doch kein Mensch....:)

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Ist ganz nützlich, sowas. :)