Berechne mit der Regel von de l'Hospital

Question

Aufgabe:

1) Berechne mit der Regel von de l'Hospital

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-\sin (x)-1}{x^{2}} \)

Regel von de l'Hospital ( \( 2 \times \) anwenden!). Überprüfe das Ergebnis, indem der Zähler durch dessen Taylorpolynom \( 2 . \) Ordnung um \( x=0 \) ersetzt wird.

Problem/Ansatz:

Ich habe zu (e^x*1 -cos(x))/2x zu (e^x *1 -sin(x))/2 abgeleitet und dafür für x=0 das Ergebnis 1/2 erhalten. Das Taylorpolynom habe ich aufgeschrieben als (e^0 -sin(0) -1)/0! + (e^1 -sin(1))/1!, was jedoch ungefähr 2 entspricht. Wo liegt der Fehler bzw. wie schreibe ich das Taylorpolynom 2. Ordnung richtig an?

Answer 1

Die Ableitung von -cos(x) ist nicht -sin(x), sondern sin(x).

Comments

Das stimmt, hab das Problem aber immer noch.
Edit: Ich habe wohl das x durch den Grad der Ableitung ersetzt. Korrekt müsste sein:

(e^0 -sin(0)-1)/1! + (e^0-cos(0)/2!),

was 0.5 entspricht.

Answer 2

lim x -> 0 [ ( e^x - sin(x) -1 ) / x^2 ] = 0 / 0
das Krankenhaus
( e^x - sin(x) -1 ) ´/ x^2 ´
( e^x - cos(x) ) / ( 2 *x )

lim x -> 0 [ ( e^x - cos(x) ) / ( 2 *x ) ]
( e^x - cos(x) ) ´ / ( 2 *x ) ´
e^x + sin ( x ) / 2

lim x -> 0 [ ( e^x + sin ( x ) ) / 2 ]
(  ( 1 + 0 ) / 2 = 1/2

Was es mit dem Taylorpolynom auf sich hat kann
ich dir leider nicht sagen.