Partiell Ableiten - was trifft zu?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Die Funktion

f(x1,x2)=−2− 4x1− 8x2 +x1^2+2x1x2+3x2^2
besitzt genau einen stationären Punkt (x1,x2). Bestimmen Sie diesen. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?


a. Es gilt x1=x2.


b. In (x1,x2) liegt ein globales Maximum vor.


c. In (x1,x2) liegt ein globales Minimum vor.


d. Es gilt x1=0.


e. Es gilt x2=−1.

Dass a. richtig ist habe ich bereits.

Habe noch ein Minimum herausbekommen, stimmt das?

Answer 1

Aloha :)

$$f(x,y)=-2-4x-8y+x^2+2xy+3y^2$$In einem Extremum muss der Gradient gleich null sein:

$$\binom{0}{0}=\operatorname{grad}f(x,y)=\binom{-4+2x+2y}{-8+2x+6y}$$Das führt auf das Gleichungssystem

$$\begin{array}{rrrr}2x&+&2y&=&4\\2x&+&6y&=&8\end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{array}{rrrr}x&+&y&=&2\\x&+&3y&=&4\end{array}$$Subtraktion beider Gleichungen liefert \(-2y=-2\) bzw. \(y=1\). Aus der ersten Gleichung folgt dann \(x=1\). Der einzige Kandidat für ein Extremum ist also$$(x_0|y_0)=(1|1)$$

Wir prüfen den Kandidaten mit der Hesse-Matrix:$$H(x,y)=\begin{pmatrix}2 & 2\\2 & 6\end{pmatrix}$$Die Hauptminoren sind \(2\) und \(12-4=8\), also beide postitiv. Die Matrix ist daher positiv definit. Es liegt also ein (globales) Minimum vor.

Damit haben wir folgende Ergebnisse:

a) Ja

b) Nein

c) Ja

d) Nein

e) Nein

Comments

Vielen Dank, war richtig:)