Aloha :)
Die Aufgabe ist sehr stark verkürzt wiedergegeben. Ich habe sie so verstanden, dass das Volumen \(V\) im ersten Oktanden berechnet werden soll, das von der Funktion \(f(x;y)=x^2+y^2+1\) nach oben, von der \(xy\)-Ebene nach unten und von einem Zylinder mit Radius \(1\) um die \(z\)-Achse horizontal begrenzt wird.
Zum Abtasten dieses Volumens wählen wir einen Ortsvektor in Zylinder-Koordinaten:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0\,|\,1]\;;\;\varphi\in\left[0\bigg|\frac\pi2\right]\;;\;z\in[0\,|\,r^2+1]$$
In Zylinder-Koordinaten lautet das Volumenelement:\(\quad dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\)
Damit ist das gesuchte Volumen:$$V=\int\limits_{r=0}^1\,\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\int\limits_{z=0}^{r^2+1}r\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\cdot\int\limits_0^1r\cdot\left(\int\limits_0^{r^2+1}dz\right)\,dr=\frac\pi2\int\limits_0^1(r^3+r)\,dr$$$$\phantom{V}=\frac\pi2\left[\frac{r^4}4+\frac{r^2}2\right]_0^1=\frac\pi2\left(\frac14+\frac12\right)=\frac{3\pi}{8}$$
