Hypervolumen mit Integralen, Schreibweise?

Question

Aufgabe:

Wir wissen, dass \( \int\limits_{a}^{b} \) 1dx die Länge des Intervalls[a, b] ist ,\( \int\limits_{}^{} \)\( \int\limits_{}^{} \)_R 1dA die Fläche von R ist und, dass \( \int\limits_{}^{} \)\( \int\limits_{}^{} \)\( \int\limits_{}^{} \)_D 1dV das Volumen des Körpers D ist. Dies können wir weiterdenken und für eine vierdimen-sionale Region (xyzw-Raum) Q das Hypervolumen \( \int\limits_{}^{} \)\( \int\limits_{}^{} \)\( \int\limits_{}^{} \)\( \int\limits_{}^{} \)_Q 1dV angeben. Benutzt das kartesische Koordinatensystem für den xyzw-Raum und berechnet das Hypervolumen innerhalb der Sphäre x²+y²+z²+w² = 1.

Problem/Ansatz:

1.

Ich habe keine Ahnung, wie ich z.B. "\( \int\limits_{}^{} \)\( \int\limits_{R}^{} \) 1dA" bzw. insbesondere das "R" und das "A" interpretieren soll.

=> in der Schreibweise "A = \( \int\limits_{y1}^{y2} \)\( \int\limits_{x1}^{x2} \) f(x,y) dx dy" sollte das kein Problem sein, aber wie stelle ich die gegebenen Integrale passend um?

Und muss ich die überhaupt so umstellen oder gibt es einen anderen Weg (bezüglich dem "R" und dem "A" im ursprünglichen Integral)

2.

Wie wende ich die gegebene Gleichung auf die Integrale des Hypervolumens an?

Ansatz:

Das Hypervolumen würde ich wie folgt berechnen:

Q = \( \int\limits_{w1}^{w2} \)\( \int\limits_{z1}^{z2} \)\( \int\limits_{y1}^{y2} \)\( \int\limits_{x1}^{x2} \) x²+y²+z²+w² dx dy dz dw

--- Analog dazu---

x² + y² = 1

=> Kreis mit r=1  und Mittelpunkt = (0,0)

=> x und y jeweils von -1 bis 1

------------------------

Da die Grenzen auch bei der Formel jeweils -1 und 1 sein müssten, würde ich folgendes daraus schlussfolgern:

w1 = z1 = y1 = x1 = -1

w2 = z2 = y2 = x2 = 1

bzw.

Q = \( \int\limits_{-1}^{1} \)\( \int\limits_{-1}^{1} \)\( \int\limits_{-1}^{1} \)\( \int\limits_{-1}^{1} \) x²+y²+z²+w² dx dy dz dw

Answer 1

Aloha ;)

Da wir es hier mit einer geraden Anzahl von Dimensionen zu tun haben, würde ich zur Berechnung des Volumens Polarkoordinaten verwenden, und zwar einmal für die \(x_1x_2\)-Ebene und ein weiteres Mal für die \(x_3x_4\)-Ebene:
$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_1\cos\varphi_1\\r_1\sin\varphi_1\\r_2\cos\varphi_2\\r_2\sin\varphi_2\end{pmatrix}\quad;\quad dV=(dx_1dx_2)(dx_3dx_4)=(r_1dr_1d\varphi_1)(r_2dr_2d\varphi_2)$$Die Winkel \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\) lassen wir im Intervall \([0;2\pi]\) laufen. Dann müssen die Radien jedoch voneinander abhängig sein, damit wir auch tatsächlich eine 4-dimensionale Kugel abtasten.
$$1\stackrel!=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=r_1^2\cos^2\varphi_1+r_1^2\sin^2\varphi_1+r_2^2\cos^2\varphi_2+r_2^2\sin^2\varphi_2$$$$\phantom{1}=r_1^2(\cos^2\varphi_1+\sin^2\varphi_1)+r_2^2(\cos^2\varphi_2+\sin^2\varphi_2)=r_1^2+r_2^2$$Wenn wir \(r_1\in[0;1]\) beliebig aber fest gewählt haben, gilt also \(0\le r_2\le\sqrt{1-r_1^2}\). Das liefert folgende Integrationsintervalle:$$\varphi_1\in[0;2\pi]\quad;\quad\varphi_2\in[0;2\pi]\quad;\quad r_1\in[0;1]\quad;\quad r_2\in\left[0;\sqrt{1-r_1^2}\right]$$
Damit bestimmen wir nun das Hyper-Volumen der 4-dimensionalen Einheitskugel:
$$V=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi_1\int\limits_0^{2\pi}d\varphi_2\int\limits_0^{1}r_1\,dr_1\!\!\!\int\limits_0^{\sqrt{1-r_1^2}}\!\!\!r_2\,dr_2=2\pi\cdot2\pi\int\limits_0^1r_1dr_1\left[\frac{r_2^2}{2}\right]_0^{\sqrt{1-r_1^2}}$$$$\phantom{V}=4\pi^2\int\limits_0^1r_1\frac{1-r_1^2}{2}dr_1=2\pi^2\int\limits_0^1\left(r_1-r_1^3\right)dr_1=2\pi^2\left[\frac{r_1^2}{2}-\frac{r_1^4}{4}\right]_0^1$$$$\phantom{V}=2\pi^2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi^2}{2}$$