Partielle Integration bei Integralen

Question

Aufgabe:

Konkrekt handelt es sich um die Aufgabe:  \( \int\limits_{0}^{\infty} \) e^x*sinh(x) dx

Problem/Ansatz:

Meine Frage bezieht sich eher auf das allgemeine Lösen solcher Aufgaben, in denen eine partielle Integration notwendig ist, sich jedoch auf Grund der "gleichbleibenden" Ableitungen Probleme ergeben. Selbiges wäre bei anderen trigonometrischen oder goniometrischen Ausdrücken ja der Fall.

Eine Aufgabe wie z.B\( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{1}{2} \)x^2*sinh(x) bereitet mir keine Probleme. Hier kann ich ja einfach bis zu einem gewissen Punkt die partiellen Integrationen durchführen.

Wäre super, wenn ihr mir Tipps geben könntet. :)

LG,

Tobi

Answer 1

Hallo,

Du kannst diese Aufgabe ohne part. Integration lösen.

Setze: sinh(x)= 1/2  (e^x -e^(-x)) und vereinfache.

Comments

Perfekt! Gracias! :)

Answer 2

Partielle Integration  Integral(u*dv)=u*v-Integral(v*du)

F(x)=Integral(e^(x)*sinh(x)

u=e^(x)  abgeleitet u´=du/dx=e^(x) ergibt du=e^(x)*dx

dv=sinh(x) integriert v=cosh(x)

F(x)=....=e^(x)*cosh(x)-Int.( cosh(x)*e^(x)*dx

Hilfsvariable a=e^(x)*cosh(x)

F(x)=..=a-Integral(e^(x)*cosh(x)*dx

2.te mal

u=e^(x)  ergibt u´=du/dx=e^(x)  → du=e^(x)

dv=cosh(x) integriert v=sinh(x)

F(x)=...=a-e^(x)*sinh(x)*Integral(sinh(x)*e^(x)*dx

Hilfsvariable b=e^(x)*sinh(x)

F(x)=Integral(e^(x)*sinh(x)*dx=a-b*Integral(e^(x)*sinh(x)*dx)

b*Integral(e^(x)*sinh(x)*dx)+Integral(e^(x)*sinh(x)*dx)=a

Integral(....)*(b+1)=a

F(x)=Integral(e^(x)*sinh(x)*dx)=a/(b+1)+C

a=e^(x)*cosh(x)

b=e^(x)*sinh(x)

einsetzen und ausrechnen schaffst du selber.

Hinweis:Das ist ein Rechentrick,wenn man wie hier  e^(x)*sinh(x) nicht vereinfachen kann.