Bestimmen Sie die Höhe h=f(b) so, dass der Körper das Volumen V=4 \pi besitzt. (Volumen, Höhe)

Question

Aufgabe:

Durch Rotation des Schaubildes der Funktion \( f \) um die \( y \)-Achse, mit
\( f(x)=\frac{25 x^{2}}{8} \)
für \( x \)-Werte zwischen 0 und \( b \), entsteht ein Rotationskörper. Bestimmen Sie die Höhe \( h=f(b) \) so, dass der Körper das Volumen \( V=4 \pi \) besitzt.

Bräuchte hierbei Hilfe.

Answer 1

\(V = \pi \cdot \int\limits_{0}^{b} x^2 \, \lvert f '(x)\rvert \space dx = \pi \cdot \int\limits_{0}^{b} x^2 \, \lvert \frac{25}{4}x\rvert \space dx = \pi \cdot \int\limits_{0}^{b} \frac{25}{4}x^3 \space dx = 4 \pi \)

Das aufgelöst nach b und eingesetzt in \( f(x) \) ergibt eine Höhe von \( h = 5 \)