Aloha :)
Wir rotieren die Funktion$$f(x)=\frac{81}{10}x^2\quad;\quad x\in[0\big|b]$$um die \(y\)-Achse. Das heißt, wir addieren Kreisflächen mir Radius \(x\) bzw. Fläche \(\pi x^2\) entlang der \(y\)-Achse:
$$V=\int\limits_{f(0)}^{f(b)}\pi x^2\,dy=\int\limits_0^b \pi x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=\int\limits_0^b\pi x^2\frac{81}{5}x\,dx=\frac{81\pi}{5}\int\limits_0^bx^3\,dx=\frac{81\pi}{20}\,b^4$$
Das \(b\) ist so zu wählen, dass das Volumen gleich \(5\pi\) ist:$$5\pi\stackrel!=V=\frac{81\pi}{20}\,b^4\implies b^4=\frac{100\pi}{81\pi}\implies b^2=\frac{10}{9}\implies b=\frac{\sqrt{10}}3$$
Die gesuchte Höhe ist also:$$h=f(b)=\frac{81}{10}\cdot b^2=\frac{81}{10}\cdot\frac{10}{9}=9$$
