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Wir rotieren die Funktion \(y(x)=\frac83x^2\) im Intervall \(x\in[0;b]\) um die \(y\)-Achse.
Die \(y\)-Werte liegen dann im Intervall \(y\in[y(0);y(b)]\). Wählen wir ein \(y=y(x)\) aus diesem Intervall aus, entsteht bei der Rotation auf der Höhe \(y=y(x)\) ein Kreis senkrecht um die \(y\)-Achse. Sein Mittelpunkt liegt auf der \(y\)-Achse und sein Radius ist \(r=x\). Die Größe dieser Kreisfläche ist daher \(\pi r^2=\pi x^2\). Alle diese Flächen musst du nun entlang der \(y\)-Achse addieren:$$V=\int\limits_{y(0)}^{y(b)}\pi\,x^2\,dy$$
Das sieht schlimmer aus, als es ist. Die Grenzen kennen wir:$$y(0)=\frac83\cdot0^2=0\quad;\quad y(b)=\frac83\,b^2$$und \(x^2\) erhalten wir durch Umstellung der Funktionsgleichung:$$y(x)=\frac83x^2\implies x^2=\frac38y$$Das tragen wir in unser oben gebautes Integral ein und bestimmen das Volumen:$$V=\int\limits_0^{\frac83b^2}\pi\,\frac38\,y\,dy=\frac38\,\pi\int\limits_0^{\frac83b^2}y\,dy=\frac38\pi\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{\frac83b^2}=\frac38\,\pi\frac{\frac{64}{9}b^4}{2}=\frac43\,\pi\,b^4$$
Dieses Volumen soll nun gleich \(3\pi\) sein:$$\frac43\pi b^4=3\pi\implies b^4=\frac94\implies b^2=\frac32$$
Die gesuchte Höhe ist also \(h=y(b)=\frac83\,b^2=\frac83\cdot\frac32=4\).
