Bestimmen Sie die Höhe h=f(b) so, dass der Körper das Volumen V=8 \pi besitzt.

Question

Text erkannt:

Aufgabe 8. (3 Punkte) Durch Rotation des Schaubildes der Funktion \( f \) um die \( y \)-Achse, mit
\( f(x)=\frac{25 x^{2}}{4} \)
für \( x \)-Werte zwischen 0 und \( b \), entsteht ein Rotationskörper. Bestimmen Sie die Höhe \( h=f(b) \) so, dass der Körper das Volumen \( V=8 \pi \) besitzt.

Kann mir jemand bitte weiterhelfen.

Grüße

Answer 1

Hallo,

stelle die Umkehrfunktion auf, die um die x-Achse routiert. Das finde ich einfacher.

\( f(x)=\frac{25}{4} x^{2} \)
\( f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{4}{25} x}  \)
\( V=\pi \cdot \int \limits_{a}^{b}(f(x))^{2} d x \)
\( 8 \pi=\pi \cdot \int \limits_{0}^{b}\left(\sqrt{\frac{4}{25} x}\right)^{2} \)

\( 8=\left[\frac{2}{25} x^{2}\right]_{0}^{b} \)

\( 8=\frac{2}{25} b^{2} \)

\( 100=b^{2} \)

\( 10=b=h\)

Gruß, Silvia