Bestimmen Sie die Höhe h=f(b) so, dass der Körper das Volumen V=8 \pi besitzt.

Question

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Aufgabe 8. (3 Punkte) Durch Rotation des Schaubildes der Funktion $f$ um die $y$-Achse, mit
$f(x)=\frac{25 x^{2}}{4}$
für $x$-Werte zwischen 0 und $b$, entsteht ein Rotationskörper. Bestimmen Sie die Höhe $h=f(b)$ so, dass der Körper das Volumen $V=8 \pi$ besitzt.

Kann mir jemand bitte weiterhelfen.

Grüße

Answer 1

Hallo,

stelle die Umkehrfunktion auf, die um die x-Achse routiert. Das finde ich einfacher.

$f(x)=\frac{25}{4} x^{2}$
$f^{-1}(x)=\sqrt{\frac{4}{25} x}$
$V=\pi \cdot \int \limits_{a}^{b}(f(x))^{2} d x$
$8 \pi=\pi \cdot \int \limits_{0}^{b}\left(\sqrt{\frac{4}{25} x}\right)^{2}$

$8=\left[\frac{2}{25} x^{2}\right]_{0}^{b}$

$8=\frac{2}{25} b^{2}$

$100=b^{2}$

$10=b=h$

Gruß, Silvia