Warum ist ln() nicht anwendbar? 8^{x+1} -30 < 8^{2x-1}

Question

ich möchte die reellen Lösungen dieser Gleichung bestimmen:

8^{x+1} -30 < 8^{2x-1}

Warum ist der ln() hier nicht anwendbar ?, wo er doch wiederum hier:

0,999^i = 0,11 anwendbar ist ?

Es würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diesen Zusammenhang erklären könnte. Danke

Answer 1

Zunächst ist deine Gleichung gar keine Gleichung, sondern eine Ungleichung. Weiter ist das Logarithmieren nur dann erlaubt, wenn beide Seiten der Gleichung oder der Ungleichung positiv sind.

Zur gegebenen Ungleichung: Vereinfache zunächst!

Answer 2

Wenn beide Seiten > 0 wären, könntest du schon:

8^x+1 -30 < 8^2x-1          | ln

ln (8^x+1 -30) < ln( 8^2x-1) = (2x -1) ln(8)

Auf der linkes Seite kannst du (x+1) nicht vor den ln ziehen. Daher bringt Logarithmieren hier nichts.

8^x+1 -30 < 8^2x-1

8^1* 8^x -30 < 8^2x/ 8

^{8* 8^x - 30 < 0.125 * 8^{2x}  = 0.125*(8^x)^2}

^{0 <} 0.125*(8^x)^2 - 8*8^x + 30

^{0 <} (8^x)^2 - 64*8^x + 240

1. Nachrechnen bis hierhin

2. substituiere u=8^x -----> quadratische Gleichung. 

Comments

Danke für eure Antworten, durch Substitution bin ich auch auf ^{0 <} (8^x)² - 64*8^x + 240  gekommen, aber den Schritt von hier 8¹* 8^x -30 < 8^2x/ 8 nach hier 8* 8^x - 30 < 0.125 * 8^2x  = 0.125*(8^x)² 

Verstehe ich nicht ganz woweg kommt den sie 0,125 ?

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Es gilt:

1/8 = 0.125

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Ich habe das ganze nun gelöst und bin auf u₁=60 und u₂=4 gekommen.
Rücksubstituiert bekomme ich dann für x₁=1,968 und für x₂=2/3.
Dafür habe ich folgende Rechnung verwendet:
u₁=8^x₁
60=8^x₁
lg60=x₁*lg8
lg60/lg8=x₁

Setze ich Werte kleiner als 2/3 ein, ist die Ungleichung richtig.
Gibt es einen anderen Weg herauszufinden welches Ergebnis richtig ist als ausprobieren?