Stammfunktion bilden, u finden und Ergebnis geometrisch betrachten

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion h(x) mit \( h(x)=-2 e^{a 5 x}+1 \quad x \in R \).

Berechnen Sie \( u<0 \) mit \( \int \limits_{u}^{0} h(x) d x=0 \) und interpretieren Sie Ihr Ergebnis geometrisch.

Ansatz/Problem:

Ich habe u=-3,18 rausbekommen. Kann es aber nicht geometrisch betrachten.

Answer 1

h(x) = 1 - 2·e^{0.5·x}

H(x) = x - 4·e^{0.5·x}

H(0) - H(u) = 0

-4 - (u - 4·e^{0.5·u}) = 0

Das löst man mit Näherungsverfahren

u = -3.187248520

Schaut also richtig aus.

Answer 2

Interpretation:

\( h(x) \) hat eine Nullstelle \(x_0\) im Intervall \( [u, 0] \).

Du hast \( u \) bestimmt, so dass die Flächen zwischen Graph und x-Achse auf den Intervallen \( [u, x_0] \) und \([x_0, 0]\) gleich sind. Inbesondere ist \(u\) die Nullstelle der Funktion:

$$ H(x) = -4 e^{0.5x}+x +4 $$

Gruß