Stammfunktion bilden: Eulersche Substitution - Beispielrechnung?

Question

"The first substitution of Euler is used when \(a>0\). We substitute \(\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm x\sqrt{a}+t\) and solve the resulting expression for \(x\). We have that \(x=\frac{c-t}{\pm 2t\sqrt{a}-b}\) and that \(\text{dx}\) term is expressible rationally in \(t\). In this substitution, either the positive or the negative sign can be chosen"

Beispiel:$$\int_{}^{}\sqrt{3x^2+5x-2} \text{  dx}$$Wir setzen \(\sqrt{3x^2+5x+-2}= x\sqrt{3}+t\)$$x=\frac{-2-t}{-2t\sqrt{3}-5}=\frac{2+t}{2\sqrt{3}t+5}$$ Dann haben wir$$\sqrt{3x^2+5x-2}=\frac{2+t}{2\sqrt{3}t+5}\cdot \sqrt{3}+t$$ Wie bestimme ich jetzt \(\text{dx}\) ?

Comments

Eventuell hilfreich:

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_substitution

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Leite deine Substitutionsvorschrift  x= Term (t)

nach t ab.

dx/dt=...

dx=...*dt

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Ist nicht \(\frac{\text{dt}}{\text{dx}}\)? Aber stimmt, ganz normal.

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Hallo

 die Frage ist unverständlich. du hast x=f(t)

 daraus dx=f'(t)*dt

Gruß lul

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Also haben wir \(\text{dx}=-\dfrac{4\cdot\sqrt{3}-5}{\left(2\cdot\sqrt{3}t+5\right)^2} \text{ dt }\)

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ja, richtig

lul

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Ist nicht richtig!

mfG

Moliets

Weiter unten ist der Lösungsweg.

Answer 1

Text erkannt:

\( x=\frac{(2+t) \cdot \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \cdot t+5}+t \)
\( \frac{d x}{d t}=\frac{\sqrt{3} \cdot(2 \sqrt{3} \cdot t+5)-(2+t) \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3}}{(2 \sqrt{3} \cdot t+5)^{2}}=\frac{6 \cdot t+5 \sqrt{3}-12-6 t}{(2 \sqrt{3} \cdot t+5)^{2}}= \)
\( \frac{d x}{d t}=\frac{5 \sqrt{3}-12}{(2 \sqrt{3} \cdot t+5)^{2}} \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets