Analyse von tanh(x) und coth(x)

Question

Aufgabe 22:

Tangens hyperbolicus und Cotangens hyperbolicus und ihre Umkehrfunktionen

Der Tangens hyperbolicus tanh ist definiert durch: \( \tanh (x):=\frac{\sinh x}{\cosh x} \).

Der Cotangens hyperbolicus coth ist definiert durch: \( \operatorname{coth}(x):=\frac{\cosh x}{\sinh x} \).

Bestimmen Sie aus Ihrer Kenntnis von Eigenschaften von sinh und cosh den Definitionsbereich, Wertebereich, Beschränktheit, Monotonie, Symmetrie sowohl von tanh als auch von coth. Auf welchen Intervallen sind tanh und coth umkehrbar? Die Umkehrfunktion von tanh heiBt Area Tangens hyperbolicus artanh, die des coth Area Cotangens hyperbolicus arcoth.

Zeichnen Sie die Schaubilder von tanh, coth, artanh, arcoth.

Comments

Wobei hast du denn dort genau schwierigkeiten? Kannst du dir sinh(x) und cosh(x) mal aufzeichnen. Was passiert jetzt wenn du die eine durch die andere funktion teilst.

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Ich hab mir das jetzt so auf geschrieben nach kuerzen. (e^{x}-e^{-x})/(e^{x}+e^{x}. Eingezeichnet mit gtr und gesehen das es werteberreich von -1 bis 1 geht. Weiter weiss ich nicht. Und ohne gtr koennte ich es nicht machen wir duerfen aber eigentlich kein gtr benuetzen.

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Ich habe jetzt rausbekommen. Tanh(x) ist für x >=0 str. Mon. Wachsend.

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ich weiss aber nivht wie artanh und coth einzeichnen kann. und ohne gtr koennte ich die aufgabe nicht uberfalltigen und ableiten sollen wir hier auch nicht nur das was im skript ist benuetzen.

Answer 1

Hi immai,

 

Definitionsbereich und Wertebereich sind richtig aufgeschrieben. Und damit auch richtig -> sie sind beschränkt.

 

Monotonie:

Du hast doch eine Skizze gemacht?! Diese straft Deine Aussage lüge. Der tanh(x) ist immer monoton steigend. Sogar streng mononton. Mache nicht den Fehler, den Du wohl begangen hast und gehe vom Nullpunkt aus, sondern gehe von links nach rechts.

(Man kann das ganze natrülich auch mit der ersten Ableitung zeigen).

Symmetrie:

Auch hier wieder, sehe ich nicht, warum Du Dich nicht am Graphen kontrollierst? Punktsymmetrie natürlich.

Auch das kann man rechnerisch zeigen. Du solltest auf -f(x) = f(-x) kommen ;).

 

Zum coth(x):

Def- und Wertebereich sind wieder richtig. Beschränktheit ebenfalls.

 

Monotonie:

Gleiche Argumentation wie oben. Immer streng monoton fallend (Definitionslücke ausgenommen).

 

Symmetrie:

Punktsymmetrie

 

Wegen der Zeichung: Ich denke es ist ok, den GTR zu benutzen. Das oder das einfach wissen. "Herleiten" muss man das nicht (also Wertetabelle oder dergleichen). Selbst "Wissen" ist meiner persönlichen Meinung nicht unbedingt relevant, dafür wird er zu selten gebraucht (aber meine Meinung und eventuell nicht die Deines Profs!)^^

 

Grüße

Comments

Vielen dank. Zu den fehlern von mir ich hatte da schon ziemliche kopfschmerzen gegen ende und da ist es leider mir fehler unterlaufen^^.wie kann ich aber noch den artanh und coth zeichnen?

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Wie meinst Du "noch" zeichnen?

Wie gesagt ist es meines Erachtens gut genug das in den GTR zu hauen ;). Eine Wertetabelle halte ich für übertrieben (und da bräuchte es ohnehin auch einen TR).

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Also da stehtvdas wir von dem was alles im skript steht verwenden sollen um das zu zeichen.

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Da ich Dein Skript nicht kenne, kann ich da auch nichts zu sagen.