Wann ist ein Teilmenge eine Untervektorraum? Beweis

Question

Welche der nachfolgend angegebenen Teilmengen von R³   sind Untervektorräume? begründen sie ihre Antwort.

                                  x1

(a)                       U={ x2 ∈ R³           x1+x2=2                                     ( x1,x2,x3) sind die Kordinaten von Vektor 

                                  x3

Latex:

$$U=\left\{ { \left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right)  }\in { R }^{ 3 }|{ { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }=2 } \right\}$$

Answer 1

Gemeint ist vermutlich die Menge

$$U=\left\{ { \left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right)  }\in { R }^{ 3 }|{ { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }=2 } \right\}$$

Die Menge U ist kein Untervektorraum von R³, weil der Nullvektor ( 0 | 0 | 0 ) ^T  von R³ nicht in U enthalten ist, denn wegen

0 + 0  ≠ 2

erfüllt dieser nicht die Definition von U.