Teilmenge G = {(x,y,z) ∈ ℝ³: x+y+z = 0} eines reellen Vektorraums ist ein Untervektorraum? (Beweis)

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne zeigen, dass folgende Teilmenge G des reellen Vektorraums ℝ³ ein Untervektorraum zu ℝ³ ist

G = {(x,y,z) ∈ ℝ³: x+y+z = 0}

Problem/Ansatz:

Ich muss ja folgende Eigenschaften zeigen um zu beweisen, dass es sich um einen Untervektorraum handelt:

1) das neutrale Element (also der Nullvektor) ist ein Element von G -> das Trifft offensichtlich zu.

2) die addition zweier Vektoren aus G ergibt wieder einen Vektor in G

3) die Skalaremultiplikation liegt in G -> das Trifft auch zu weil für ein k aus den reellen Zahlen gilt: k*(x,y,z) entspricht (kx,ky,kz) und mit x+y+z = 0 als Vorausetzung kann man leicht erkennen, dass kx+ky+kz = k*0 und k*0 = 0 ist offensichtlich.

Mein Problem liegt bei 2) wie beweise ich im Allgemeinen, dass dies auch für die Addition gilt. Für konkrete Zahlen hat es zumindest mit 3 Beispielen funktioniert aber wie formulier ich dass i.A. aus?

Gruß,
Spiegel

Answer 1

zu 2)  Denke dir zwei Elemente etwa (a,b,c) und (x,y,z).

Dann gilt nach Def. von G   a+b+c=0

und x+y+z = 0 .

Beide Gleichungen addiert gibt  a+b+c + x+y+z = 0 .

<=> (a+x) + (b+y) + (c+z) = 0

und das ist die Bedingung dafür, dass die Summe

(a,b,c) + (x,y,z) = ( a+x , b+y , c+z) auch in G liegt.

Comments

Vielen Dank!!

sehr verständlich erklärt

Gruß,

Spiegel