Wie beweise ich die Linearität einer Funktion korrekt?

Question

Ich habe eine Funktion und soll beweisen, dass sie linear ist.

Das habe ich bisher gemacht:

\( f(x)=\left(\begin{array}{l}{5 * x} \\ {3 * x}\end{array}\right) \)
\( f(x+y)=\left(\begin{array}{l}{5 *(x+y)} \\ {3 *(x+y)}\end{array}\right) \)
\( f(x)+f(y)=\left(\begin{array}{l}{5 * x+5 * y} \\ {3 * x+3 * y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{5 *(x+y)} \\ {3 *(x+y)}\end{array}\right)=f(x+y) \)

Meines Wissens wäre doch damit die Linearität bewiesen.

Jetzt habe ich in alten Lösungen noch irgendein Gefummel mit alpha gefunden. Das verstehe ich nicht so ganz. Ich dachte, dass die Linearität jetzt bewiesen wurde oder habe ich jetzt was vergessen?

Comments

Du musst noch zeigen, dass  f(α·x) = α·f(x)  für alle  α ∈ ℝ  gilt.

---

Nur der Interesse halber. Weshalb stehen bei dir 2 Funktionen ?

f ( x ) = 5 * x
f ( x ) = 3 * x

Für eine Funktion

f ( x ) = 5 * x
f ´ ( x ) = 5

Die Steigung ist über den gesamten Bereich gleich.
Dann dürfte es wohl eine lineare Funktion sein.

mfg Georg

---

@georgborn: Ich sehe da nur eine Funktion

\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2\), f(x)= \begin{pmatrix} 5x\\3x \end{pmatrix}\).

@gutenuss: Streng genommen steht da eigentlich gar keine Funktion. Da fehlen noch Definitions- und Wertebereich. Ich habe mal angenommen, dass beides \(\mathbb{R}\) ist. Das sollte man aber immer mit angeben.

---

Also ist der Beweis so nicht vollständig?

@Nick
Ups ja das hab ich vergessen, ist aber beides IR

---

Nein, du hast nur die Additivität gezeigt. Es fehlt noch die Homogenität, also \(\forall x, a\in\mathbb{R}: f(a\cdot x)=a\cdot f(x)\).

Man kann allerdings auch Additivität und Homogenität in einem Schritt zeigen, indem man zeigt: \(\forall x, y, a\in\mathbb{R}:f(a\cdot x+y)=a\cdot f(x)+f(y)\). Das würde dann schon reichen.

Answer 1

Bei dem von dir gezeigten Beweis der Additivität musst du in der dritten Zeile formal korrekt schreiben:
$$f(x)+f(y)=\begin{pmatrix} 5*x \\ 3*x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5*y \\ 3*y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5*x+5*y \\ 3*x+3*y \end{pmatrix}=...$$

Nun ist noch die Homogenität zu zeigen, also:$${ \forall  }_{ x,a\in R }:f(a*x)=a*f(x)$$Das macht man so:$$f(a*x)=\begin{pmatrix} 5*(a*x) \\ 3*(a*x) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5*a*x \\ 3*a*x \end{pmatrix}=a*\begin{pmatrix} 5*x \\ 3*x \end{pmatrix}=a*f(x)$$

Will man hingegen Additivität und Homogenität in einem Schritt zeigen, also:$${ \forall  }_{ x,y,a\in R }:f(a*x+y)=a*f(x)+f(y)$$dann sieht das so aus:$$f(a*x+y)=\begin{pmatrix} 5*(a*x+y) \\ 3*(a*x+y) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5*a*x+5*y \\ 3*a*x+3*y \end{pmatrix}$$$$=\begin{pmatrix} 5*a*x \\ 3*a*x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5*y \\ 3*y \end{pmatrix}=a*\begin{pmatrix} 5*x \\ 3*x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5*y \\ 3*y \end{pmatrix}=a*f(x)+f(y)$$