Sei \(U\) eine additive Untergruppe von \(\mathbb{Z}\).
Man muss nur noch zeigen:$$z\in\mathbb{Z},\, u\in U\;\Rightarrow\; z\cdot u\in U.$$
1.Fall \(z\geq 0\):
Dann ist \(z\cdot u=\sum_{i=1}^z u\in U\), da \(U\) bzgl. Summenbildung abgeschlossen ist.
2.Fall \(z\lt 0\):
Dann ist \(-u\in U\), da \(U\) zu jedem seiner Elemente dessen Inverses enthält.
Wegen \(z\cdot u=(-z)\cdot(-u)\) landet man dann im 1.Fall.
Gruß ermanus
